\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\pagestyle{empty}

\topmargin -3mm
\headsep 0mm
\headheight 3mm
\textheight 235mm
\textwidth 165mm
\oddsidemargin 0mm
\evensidemargin 0mm
\footskip 10mm

\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\coL}{co\mbox{$-$}L}
\newcommand{\move}{\rightarrow}

\newcommand{\zadani}[2]{
{\large
\noindent {\bf IB102 -- úkol #1 \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval(a):\hspace{7cm}UČO:\\
\noindent Skupina:
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}

\newcommand{\reseni}[2]{
{\large
\noindent {\bf  IB102 -- úkol #1 -- řešení \hfill Odevzdání: #2\\[-4mm]}
\noindent\hrule
\vspace{2mm}
\noindent Vypracoval: James Bond \hspace{4.2cm}UČO: 007\ \ \\
\noindent Skupina: MI6
\vspace{2mm}
\hrule
\bigskip}
}

\newcommand{\ix}[1]{\mathit{index}\ \mathord{\sim_{#1}}}

\begin{document}

\zadani{7}{8.\,11.\,2010}

\noindent
{\bf 1. [2 body]} Rozhodněte, zda pro všechny jazyky $L$, $K$ platí
následující implikace. Svá rozhodnutí zdůvodněte.
\begin{description}
\item[(a)] $L^*$ je regulární ~$\Longrightarrow$~ $L$ je regulární
\item[(b)] $(L\smallsetminus K)^R$ je regulární, $K$ je regulární a $K \subseteq L$ ~$\Longrightarrow$~ $L$ je regulární
\end{description}

\newpage

\zadani{7}{8.\,11.\,2010}

\noindent
{\bf 2. [2 body]} Definujme $\mathcal T$ jako třídu všech jazyků,
jejichž prefixová ekvivalence má index nejvýše 4. Platí tedy, že jazyk $L$
patří do třídy $\mathcal T$ právě tehdy, když $\ix{L} \le 4$.

Odpovězte na následující otázky a své odpovědi zdůvodněte.
\begin{description}
\item[(a)] Je třída $\mathcal T$ uzavřená na sjednocení?
\item[(b)] Je třída $\mathcal T$ uzavřená na průnik?
\item[(c)] \textbf{BONUS [+1 bod]} Je třída $\mathcal T$ uzavřená na iteraci?
\item[(d)] \textbf{BONUS [+1 bod]} Je třída $\mathcal T$ uzavřená na pozitivní iteraci?
\end{description}

\end{document}
