6   Šesté cvičení
00 Příklad 6.1 Mejme jazyk L = {R} s rovností, kde R je binární predikátový symbol. Zadejte teorii T takovou, ze realizace M je modelem T, práve kdyz (M, RM) je lineárne uspořádaná množina. Existuje takova ýplná teorie?
6.1 Kanonická struktura
00 Příklad 6.2 Mejme jazyk L = {P, 0, f} bez rovnosti, kde P je unarní predikatový symbol, 0 je nularní funkCní symbol a f je unární funkCní symbol. Popište kanonicke struktury nasledujících teorií s jazykem L.
a) Ti = {P(0)}
b) T2 = {P(x)}
c) T3 = {3xP(x)}
6.2 Rozšírení teorie
00 Příklad 6.3 Mejme jazyk L = {P} s rovností, kde P je unární predikatový symbol. Dale mejme teorie Ti = {P (x) -f-> P (y)} a T2 = {x = y} s jazykem L.
a) Je T2 rozsírení teorie T1?
b) Je T2 konzervativní rozsírení teorie T1?
6.3 Existence teorií
00 Příklad 6.4 Existuje teorie T s jazykem L takova, ze realizace M je modelem teorie T, prave kdyz nosic M ma (konecny) sudá pocet prvku.
Příklad 6.5 Necht' T je konecná teorie s jazykem L obsahující pouze uzavrene formule. Dokazte, ze existuje konecná teorie T' s jazykem L takova, ze M = T' prave tehdy, kdyz M = T pro libovolnou realizaci M jazyka L.
000 Příklad 6.6 Necht' L = {R} je jazyk s rovností, kde R je binarní predikatovy symbol. Dokazte, ze neexistuje teorie T taková, ze pro kazdou realizaci M jazyka L platí M = T prave tehdy, kdyz (M, RM) je silne souvisly orientovany graf.
6.4 Zkouškove príklady
Prikladanie nekolik těžších zkouskovych príkladu z minulych let. Na zkousce se nejspís objeví i jine typy príkladu nez v minulych letech, nespolehejte tedy pouze na kolektivní znalosti na fi.muny.cz. Krome zvladnutí podobnych príkladu jako níze se jiste vyplatí velmi dobre rozumet zakladním definicím a vyznamu hlavních vet z prednasky. Mnohem dulezitejsí nez ucit se dukazy z prednásky nazpamet' je temto dukazum rozumet.
Příklad 6.7 Necht' L je jazyk s rovností a s jedním binarním predikatovym symbolem R. Dejte príklad teorie T s jazykem L takove, ze libovolná realizace M jazyka L je modelem T práve kdyz (M, RM) není lineárne usporádaná mnozina.
000 Příklad 6.8 Necht' L je prázdná jazyk s rovností. Zadejte teorii T takovou, ze pro libovolnou realizaci M platí, ze M = T, práve kdyz nosic M realizace M je nekonecny nebo existuje k G N takove, ze | M | = 2k.
000 Příklad 6.9 Necht' L je jazyk s rovností a se dvema binárními funkcními symboly + a *. Dale necht' R = (R>o, +r>0, *r>0) a Q = (Q>0, +q>0, *q>0) jsou dve realizace tohoto jazyka, které mají za nosic nezáporná reálna, resp. nezáporná racionální císla a kde funkcní symboly + a * jsou realizovany standardní operací scítaní a nasobení na príslusnách mnozinách. Zadejte formuli f v jazyce L takovou, ze R = f a Q = f.
1^10 Příklad 6.10 Necht' L je jazyk s rovností a s jedním unarním predikatovym symbolem P. Dale necht T je teorie s jazykem L. Naleznete rozsírení T' teorie T takove, ze pro kazdou realizaci M platí, ze M = T, prave kdyz M = T a zároveň PM = M. Rozhodnete a dokazte, zda je takove rozsírení konzervativní.
1