MB000 Matematická analýza DDÚ
1 Rovnice a nerovnice
Řešte rovnice, resp. nerovnice:
1. |x − 4| + |2x − 1| = |x| + 3
x ∈ 1
2 , 4
2. x2
+ |x − 1| − 1 = 0
[x ∈ {0, 1}]
3. x2
+ 4x − 3x − 6 = 0
[x ∈ {−1, 2}]
4. |2x + 1| − |3 − x| ≥ x
[x ∈ (−∞, −2 ∪ 1, ∞)]
5. |x − 2| > 3 |x − 4|
x ∈ 7
2 , 5
6. ||x + 1| − |x − 1|| < 1
x ∈ (−1
2 , 1
2 )
7. soustava nerovnic
|x − 3| + 2 |x + 1| > 4
|2x + 1| − 5 ≤ x
[x ∈ −2, −1) ∪ (−1, 4 ]
8. x2
+ 2x − 1 = 0
x = −1 ±
√
2
9. x2
+ x 2
√
3 + 1 + 2
√
3 = 0
x ∈ −1, −2
√
3
10. 3x2
+ 5x − 2 < 0
x ∈ −2, 1
3
11. 9x2
− 6x + 1 ≤ 0
1
MB000 Matematická analýza DDÚ
x = 1
3
12. 4x2
− 1 ≤ 0
x ∈ −1
2 , 1
2
13. 4
x+
√
x2+x
− 1
x−
√
x2+x
= 3
x
x ∈ −1, 9
16
14. 2 ·
√
1+ 1
x√
1− 1
x
·
√
x + 1 −
(
√
x+1)
2
+(
√
x−1)
2
√
x−1
= 0
[x ∈ (1, ∞)]
2 Matematická indukce
Pomocí matematické indukce dokažte:
1. 12
+ 22
+ · · · + n2
= n(n+1)(2n+1)
6
2. 1
1·2 + 1
2·3 + 1
3·4 + · · · + 1
n·(n+1) = n
n+1
3. 13
+ 23
+ · · · + n3
= (1 + 2 + . . . + n)2
= n(n+1)
2
2
3 Kořeny polynomu - Hornerovo schéma
Rozložte polynomy pomocí Hornerova schématu:
1. x5
− 4x4
− 3x3
+ 32x2
− 54x + 36 =?
= (x − 2)(x − 3)(x + 3)(x2
− 2x + 2)
2. x5
− 19x4
+ 130x3
− 400x2
+ 544x − 256 =?
= (x − 1)(x − 2)(x − 4)2
(x − 8)
3. x4
− 6x3
+ 13x2
− 12x + 4 =?
= (x − 1)2
(x − 2)2
2
MB000 Matematická analýza DDÚ
4 Dělení polynomu polynomem
Napište racionální lomenou funkci jako součet polynomu a ryze
lomené fukce (dělte polynomy):
1. (x5
− x4
+ 6x2
+ x − 2) ÷ (x4
− 2x3
) =?
= (x + 1) + 2x3
+6x2
+x−2
x4−2x3
2. (x4
+ 6x2
+ x − 2) ÷ (x4
− 2x3
) =?
= 1 + 2x3
+6x2
+x−2
x4−2x3
3. (2x5
− x4
+ 3x2
− x + 1) ÷ (x2
− 2x + 4) =?
= 2x3
+ 3x2
− 2x − 13 + −19x+53
x2−2x+4
5 Rozklad na parciální zlomky
Rozložte ryze lomenné funkce na parciální zlomky:
1. −5x+2
x4−x3+2x2 =?
= 1
x2 − 2
x + 2x−3
x2−x+2
2. 9x3
−4x+1
x4−x2 =?
= 3
x−1 + 2
x+1 − 1
x2 + 4
x
3. x3
−4x2
+x−2
x4−2x3+2x2−2x+1 =?
= x
x2+1 − 2
(x−1)2
3
MB000 Matematická analýza DDÚ
6 Definiční obor funkce
Zjistěte definiční obor funkcí:
1. y = x2
+1
x2+x+1
[D(f) = R]
2. y = 1
|x+3|−4
[D(f) = R − {−7, 1}]
3. y = 1√
2x2+3x−2
D(f) = (−∞, −2) ∪ (1
2 , ∞)
4. y = x+2
4x−6
D(f) = (−∞, −2 ∪ (3
2 , ∞)
5. y = log (x − 3)
[D(f) = (3, ∞)]
6. y = 1
log2 (x+4)−3
[D(f) = (−4, 4) ∪ (4, ∞)]
7. y = log1
3
(2x + 1)
D(f) = (−1
2 , 0
8. y = sin (
√
x)
D(f) = k∈Z 4k2
π2
, (2k + 1)2
π2
9. y = 4
log (tg(x))
D(f) = k∈Z(kπ + π
4 , kπ + π
2 )
4
MB000 Matematická analýza DDÚ
7 Sudost a lichost funkce
Rozhodněte, zda je fukce sudá či lichá:
1. y = (x + 1)2
[ ani sudá, ani lichá ]
2. y = 3
(1 − x)2 + 3
(1 + x)2
[ sudá ]
3. y = 1+x
1+x2
[ ani sudá, ani lichá ]
4. y = log 1−x
1+x
[ lichá ]
5. y = 0
[ sudá i lichá ]
8 Inverzní funkce
Spočtěte inverzní funkci:
1. y = 3
4 x − 1
y = 4x+4
3
2. y = 10x−3
[y = 3 + log10 x]
3. y = 1 − sin (x − 1)
[y = 1 + arcsin (1 − x)]
5
MB000 Matematická analýza DDÚ
9 Grafy funkcí
Načrtněte grafy funkcí:
1. y = 2 |x − 3| + 1
2. y = |4 − x| − |2x + 3| − 7
3. y = 8x − 2x2
4. y = −1
2 x2
− x − 1
5. y = x2
+ 2x − 3
6. y = x |x − 3|
7. y = 1
x
10 Supremum a infimum
Nalezněte infima a suprema množin:
1. X = −x2
+ 6x + 1, x ∈ R
[inf(X) neexistuje, sup(X) = 10]
2. X = 1, 1
3 , 1
32 , 1
33 , . . .
[inf(X) = 0, sup(X) = 1]
3. X = množina všech zlomků tvaru m
n , m, n ∈ N, 0 < m < n
[inf(X) = 0, sup(X) = 1]
6
MB000 Matematická analýza DDÚ
11 Limita posloupnosti
Spočtěte limity posloupností:
1. limn→∞
1
n2
[0]
2. limn→∞
√
n + 2
[∞]
3. limn→∞
√
n2 + n + 1
[∞]
4. limn→∞
1
n
[0]
5. limn→∞(1
2 )n
[0]
6. limn→∞(−1)n
· 1
n
[0]
7. limn→∞
(n−2)2
(1−4n)(n+1)
2n4−100n3
[−2]
8. limn→∞
5+(−1)n
·n
n+2
[ neexistuje ]
9. limn→∞(
√
n2 + n + 1 −
√
n2 − n)
[1]
10. limn→∞ n( a + 1
n −
√
a)
1
2
√
a
7
MB000 Matematická analýza DDÚ
12 Limita funkce
Spočtěte limity funkcí:
1. limx→0 x sin x
(Rada: Využijte větu o limitě součinu ohraničené funkce a funkce
s nulovou limitou.)
[0]
2. limx→−1
x3
−2x−1
x4+2x+1
−1
2
3. limx→∞(
√
x2 − 2x − 1 −
√
x2 − 7x + 3)
5
2
4. limx→3
√
x+1−2
x2−5x+6
1
4
5. limx→0
x5
−x4
3√
1+x4−1
(Rada: Využijte vzoreček a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
).)
[−3]
6. limx→∞( (x + a)(x + b) − x), a ∈ R, b ∈ R
a+b
2
7. limx→0
√
2−
√
1+cos x
sin2 x
1
4
√
2
8. limx→0
tan x−sin x
x3
1
2
9. limx→0
arctan x
x
(Rada: Pomožte si substitucí x = tan t. Nezapomeňte zaměnit
limx→0 za limt→....)
[1]
8
MB000 Matematická analýza DDÚ
10. limx→0
ln (1+x)
x
(Rada: Pomožte si substitucí 1+x = et
. Nezapomeňte zaměnit
limx→0 za limt→....)
[1]
11. limx→2−
|x−2|
x−2
limx→2+
|x−2|
x−2
[−1; 1]
12. * limx→∞
x+
√
x+
√
x
√
x+1
[1]
13. * limx→0
3√
1+x2− 4
√
1−2x
x2+x
1
2
14. * limx→ π
4
cos x−sin x
cos 2x
1√
2
15. * limx→∞(1 + a
x )x
, a ∈ R
(Rada: Pomožte si substitucí 1
y = a
x a vyjádřením Eulerova
čísla limn→∞(1 + 1
n )n
= e. Nezapomeňte zaměnit limx→0 za
limy→....)
[ea
]
13 Spojitost funkce
1. Buď f(x) =



−2 sin x x ≤ −π
2
A sin x + B −π
2 < x < π
2
cos x x ≥ π
2
.
Určete parametry A, B tak, aby byla funkce f spojitá ve
všech bodech x ∈ R.
[A = −1, B = 1]
9
MB000 Matematická analýza DDÚ
14 Derivace
Zderivujte funkce:
1. y = (
√
x + 1)( 1√
x
+ 1)
y′
= 1
2
√
x
− 1
2
√
x3
2. y = tan x − 1
3 tan3
x + 1
5 tan5
x
y′
= 1−tan2
x+tan4
x
cos2 x
3. y = sin(sin(sin x))
[y′
= cos(sin(sin x)) · cos(sin x) · cos x]
4. y = ln(
√
1 + e2x)
y′
= e2x
1+e2x
5. y = 1+cos 2x
2
y′
= −
√
2 sin 2x
2
√
1+cos 2x
6. y = 1+cos2 x
2
y′
= −
√
2 sin x cos x
2
√
1+cos2 x
7. y = 1−ex
1+ex
y′
= − ex
(1+ex)
√
1−e2x
8. y = arctan x+1
2x+1 − π
4
y′
= − 1
2((2x+1)2+(x+1)2) arctan x+1
2x+1 − π
4
9. * y = 1
6 ln (x+1)2
x2−x+1 + 1√
3
arctan 2x−1√
3
y′
= 1
x3+1
10
MB000 Matematická analýza DDÚ
10. * y = arcsin x√
1−x2
+ 1
2 ln 1−x
1+x
y′
= x arcsin x√
(1−x2)3
11. * y = 1
4
√
3
ln
√
x2+2−x
√
3√
x2+2+x
√
3
+ 1
2 arctan
√
x2+2
x
y′
= 1
(x4−1)
√
x2+2
Vypočtěte n-tou derivaci funkcí:
1. y = x ln x, n = 5
y(V )
= −6x−4
2. y = x2
ex
, n = 4
y(IV )
= 12ex
+ 8xex
+ x2
ex
15 Tečna a normála
Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkcí v bodě x0:
1. y = tan x, x0 = π
4
t : y = 2x + 1 − π
2 , n : y = −1
2 x + 1 + π
8
2. y = 1
x2+1 , x0 = 1
t : y = −1
2 x + 1, n : y = 2x − 3
2
3. y = 2x3
+ 1, x0 = 0
[t : y = 1, n : x = 0]
4. y = 2
√
2 sin x, x0 = π
4
t : y = 2x + 2 − π
2 , n : y = −1
2 x + 2 + π
8
5. y = etan x
, x0 = 0
[t : y = x + 1, n : y = −x + 1]
11
MB000 Matematická analýza DDÚ
16 Vyšetřování průběhu funkce
16.1 Monotonie
Určete intervaly, na nichž jsou funkce rostoucí, resp. klesající:
1. y = 2x
1+x2
[R : (−1, 1), K : (−∞ − 1), (1, ∞)]
2. y = x2
− ln x2
[R : (−1, 0), (1, ∞), K : (−∞, −1), (0, 1)]
3. y = x
ln x
[R : (e, ∞), K : (0, 1), (1, e)]
16.2 Extrémy
Určete lokální extrémy funkcí:
1. y = x − 2 arctan x
max : −1, −1 + π
2 , min : 1, 1 − π
2
2. y = ln cos x
[max : [2kπ, 0] , k ∈ Z]
3. Určete hodnotu parametru a ∈ R tak, aby funkce f(x) =
a sin x + 1
3 sin 3x měla v bodě x = π
3 extrém.
[a = 2]
Určete globální extrémy funkcí na daném intervalu:
1. y = x − 1 −
√
x, I = 0, 1
max : [0, −1] , [1, −1] , min : 1
4 , −5
4
2. y = x + arctan x, I = −1, 1
max : 1, 1 + π
2 , min : −1, −1 − π
2
12
MB000 Matematická analýza DDÚ
Pomocí globálních extrémů funkcí nalezněte řešení úlohy:
1. * Kladné číslo a rozložte na součet dvou nezáporných sčítanců
tak, aby jejich součin byl maximální.
a = a
2 + a
2
2. * Určete poměr stran obdélníka, pro nějž platí, že při daném
obsahu má nejmenší obvod.
(pozn. S = ab, o = 2(a + b))
[a = b, tj. čtverec ]
3. * Určete poměr poloměru a výšky rotačního válce, pro nějž
platí, že při daném povrchu má největší objem.
(pozn. S = 2πr2
+ 2πrv, V = πr2
v)
[v = 2r]
4. * Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při daném
objemu R litrů měla co nejmenší povrch.
(pozn. S = 2πr2
+ 2πrv, V = πr2
v)
r = 3 R
2π dm, v = 3 4R
π dm
5. * Ze čtverce papíru o straně a vystřihněte v rozích čtverce
tak, aby krabice složená ze zbytku papíru měla co největší
objem. Krabice nemá víko.
[ strana čtverců v rozích je a
6
16.3 Konvexnost, konkávnost, inflexní body
Určete intervaly, na nichž jsou funkce konvexní, resp. konkávní, a
určete inflexní body funkcí:
1. y = e−2x2
konv : (−∞, −1
2 ), (1
2 , ∞), konk : (−1
2 , 1
2 ), infl : −1
2 , e− 1
2 , 1
2 , e− 1
2
2. y = xe−x
konv : (2, ∞), konk : (−∞, 2), infl : 2, 2e−2
13
MB000 Matematická analýza DDÚ
16.4 Asymptoty
Určete asymptoty funkcí:
1. y = x3
(x+1)2
[bs : x = −1, ss : y = x − 2 pro x → ±∞]
2. y = e
( 1
x2−4x+3
)
[bs : x = 1, x = 3, ss : y = 1 pro x → ±∞]
16.5 Vyšetřování průběhu funkce
Vyšetřete průběh funkcí (včetně grafu):
1. f(x) = x2
x+2
2. f(x) = (x − 1)2
e−x
3. f(x) = ln 1+x2
1−x2
(přímky v grafech značí asymptoty)
–20
–10
0
10
20
y
–20 –10 10 20
x
14
MB000 Matematická analýza DDÚ
–1
0
1
2
3
4
y
–2 2 4 6 8 10x
–2
0
2
4
6
8
10
y
–2 –1 1 2
x
17 Přibližné vyjádření funkce
17.1 Diferenciál
Pomocí diferenciálu přibližně určete:
1. arccotan (1, 02)
≈ π
4 − 0, 01 ≈ 0, 7754 pro f(x) = arcotan(x), x0 = 1]
2. sin 29
≈ 1
2 −
√
3
2 · π
180 ≈ 0, 4849 pro f(x) = sin x, x0 = π
6
3.
√
5
≈ 9
4 = 2.25 pro f(x) =
√
x, x0 = 4]
15
MB000 Matematická analýza DDÚ
17.2 Taylorův rozvoj
Napište Taylorův polynom stupně n v bodě x0 funkcí:
1. f(x) = x2
+ 1, x0 = 1, n = 5
T5(x) = 2 + 2(x − 1) + (x − 1)2
2. f(x) = 1
1+x , x0 = 0, n = 4
T4(x) = 1 − x + x2
− x3
+ x4
3. f(x) = x3
− 2x + 5, x0 = 1, n = 6
T6(x) = 4 + (x − 1) + 3(x − 1)2
+ (x − 1)3
Napište Maclaurinův rozvoj funkcí:
1. f(x) = sin x
Tn(x) = x − x3
3! + x5
5! − · · · + (−1)n−1 x2n−1
(2n−1)! + (−1)n
cos ξ x2n+1
(2n+1)!
2. f(x) = cos x
Tn(x) = 1 − x2
2! + x4
4! − · · · + (−1)n x2n
(2n)! + (−1)n
cos ξ x2n+2
(2n+2)!
3. f(x) = ln(x + 1)
Tn(x) = x − x2
2 + x3
3 − · · · + (−1)n+1 xn
n + (−1)n+2 xn+1
n+1
1
(1+ξ)n+1
Pomocí Taylorova polynomu stupně n přibližně určete:
1. arctan(1, 05), n = 2
≈ 45 + 1
2 (1, 05 − 1) − 1
4 (1, 05 − 1)2
= 45, 0125 pro f(x) = arctan x, x0 = 1]
2. ln(1, 01), n = 2
≈ 0, 01 − 1
2 · 0, 012
= −0, 00995 pro f(x) = ln x, x0 = 1]
3. 3
√
30, n = 2
≈ 3 + 1
33 (30 − 27) − 1
2 · 2
37 (30 − 27)2
= 3, 106995 pro f(x) = 3
√
x, x0 = 27]
16
MB000 Matematická analýza DDÚ
18 L’Hospitalovo pravidlo
Pomocí l’Hospitalova pravidla spočtěte limity funkcí:
1. limx→0
tan x
arcsin x
[1]
2. limx→0
esin 4x
−cos x
sin 2x
[2]
3. limx→0
tan x−x
x−sin x
[2]
4. limx→∞
x3
ax , a > 1
[0]
5. limx→1−
ln(1−x2
)
ln(sin πx)
[1]
6. limx→1( 1
ln x − 1
x−1 )
1
2
7. limx→0( 1
sin x − 1
ex−1 )
1
2
8. limx→1− ln x · ln(1 − x)
[0]
9. limx→∞(π
2 − arctan x) ln x
[0]
10. limx→0+ (sin x)tan x
[1]
11. limx→0+ (1
x )tan x
[1]
17
MB000 Matematická analýza DDÚ
12. limx→0+ (ln 1
x )x
[1]
13. limx→∞( 2
π arctan x)x
e− 2
π
14. limx→−∞(x2
−1
x2 )x4
[0]
15. limx→0(1 + 3 tan2
x)cotan2
x
e3
16. * limx→0+ x(xx
−1)
[1]
19 Primitivní funkce
Spočtěte integrály:
1. 3 dx
[3x + c]
2. x2
dx
x3
3 + c
3. (1 − 1
x2 ) x
√
x dx
4
7 x
7
4 + 4x− 1
4 + c
4.
√
x−2x
x3
+3x2
x3 dx
−2
3 x− 3
2 − 2x
ln 2 + 3 ln x + c
5. 4x2
+1
x2(1+x2) dx
18
MB000 Matematická analýza DDÚ
−1
x + 3 arctan x + c
6. e2x
dx
1
2 e2x
+ c
7. sin kx dx
−1
k cos kx + c
8. cos 2x
cos2 x dx
(Rada: cos 2x = cos2
x − sin2
x.)
[2x − tan x + c]
9. 1+cos2
x
1+cos 2x dx
1
2 (tan x + x) + c
10. 2 sin2 x
2 dx
(Rada: sin2
z = 1−cos 2z
2 .)
[x − sin x + c]
11. sin 6x cos 2x dx
(Rada: sin a cos b = 1
2 (sin(a + b) + sin(a − b)).)
− 1
16 cos 8x − 1
8 cos 4x + c
12. tan x dx
[− ln |cos x| + c]
13. x
x2+a2 dx
1
2 ln x2
+ a2
+ c
14. ( 5
2
√
x2−3
− (2
3 )x
) dx
5
2 ln x +
√
x2 − 3 −
( 2
3 )x
ln 2
3
+ c
19
MB000 Matematická analýza DDÚ
19.1 Metoda Per partes
Spočtěte integrály:
1. (x2
+ x)ex
dx
ex
(x2
− x + 1) + c
2. x3
e2x
dx
e2x
(1
2 x3
− 3
4 x2
+ 3
4 x − 3
8 ) + c
3. (x3
+ x2
)3x
dx
3x
(x3
+x2
ln 3 − 3x2
+2x
ln2 3
+ 6x+2
ln3 3
− 6
ln4 3
) + c
4. x cos 2x dx
x
2 sin 2x + 1
4 cos 2x + c
5. arctan x dx
x arctan x − 1
2 ln 1 + x2
+ c
6. ex
cos x dx
1
2 ex
(cos x + sin x) + c
7. e2x
sin x dx
1
5 ex
(2 sin x − cos x) + c
8. sin2
x cos x dx
1
3 sin3
x + c
9. ln2
x
x2 dx
−ln2
x+2 ln x+2
x + c
20
MB000 Matematická analýza DDÚ
19.2 Substituční metoda
Spočtěte integrály:
1. xex2
dx
1
2 ex2
+ c, substituce t = x2
2. dx
x ln2 x
− 1
ln x + c, substituce t = ln x]
3. x2 3
√
1 + x3 dx
1
4
3
(1 + x3)4 + c, substituce t = 1 + x3
4. arccos2
x√
1−x2
dx
−arccos3
x
3 + c, substituce t = arccos x]
5. x2
arccos x dx
x3
3 arccos x − 1
3
√
1 − x2 + 1
9 (1 − x2)3 + c, PP +
subs. t = 1 − x2
6. 1√
a2−x2
dx
arcsin x
a + c, substituce t = x
a
7. 1
x2+9 dx
1
3 arctan x
3 + c, substituce t = x
3
8. − 1√
16−x2
dx
arccos x
4 + c, substituce t = x
4
9.
√
1 − x2 dx
1
2 (arcsin x + x
√
1 − x2) + c, substituce x = sin t]
10. arctan
√
x dx
[(x + 1) arctan
√
x −
√
x + c, substituce x = t2
+ PP ]
21
MB000 Matematická analýza DDÚ
19.3 Integrování některých elementárních funkcí
19.3.1 Racionální funkce
Spočtěte integrály:
1. x
x3−x2−4x+4 dx
−1
3 ln |x − 1| − 1
6 ln |x + 2| + 1
2 ln |x − 2| + c
2. cos x
sin2 x+6 sin x+5
dx
1
4 ln |1 + sin x| − 1
4 ln |5 + sin x| + c, nejprv substituce t = sin x]
3. x4
+6x2
+x−2
x4−2x3 dx
x − 1
2x2 − 3 ln |x| + 5 ln |x − 2| + c
4. x2
+x+1
x3+x dx
[ln |x| + arctan x + c]
5. x2
x2+1 dx
[x + arccotan x + c]
6. 2x3
+8x2
+12x+1
x2+4x+6 dx
x2
+ 1√
2
arctan x+2√
2
+ c
7. 4x−10
x2−6x+25 dx
2 ln x2
− 6x + 25 + 1
2 arctan x−3
4 + c
8. 4x−5
x2+4x+7 dx
2 ln x2
+ 4x + 7 + 13√
3
arccotanx+2√
3
+ c
9. x4
+1
x3−x2+x−1 dx
x2
2 + x + ln |x − 1| − 1
2 ln x2
+ 1 + arccotanx + c
10. 2x5
−7x4
+11x3
−24x2
+27x−16
x4−3x3+3x2−8x+12 dx
x2
− x + ln |x − 2| +
√
11
x+ 1
2
+ 1
2 ln x2
+ x + 3 + 1√
11
arctan( 2√
11
(x + 1
2 )) + c
22
MB000 Matematická analýza DDÚ
19.3.2 Funkce typu R(x, n
√
x)
1. dx
x− 3
√
x
3
2 ln 3
√
x2 − 1 + c, substituce x = t3
2. dx
(1+ 4
√
x) 3
√
x
12
5
12
√
x5 − 6 6
√
x + 4 ln | 12
√
x + 1| + 2 ln | 6
√
x − 12
√
x + 1| +
+4
√
3 arctan 2√
3
( 12
√
x − 1
2 ) + c, substituce x = t12
19.3.3 Funkce typu R(sin x, cos x)
1. sin5
x cos4
x dx
−1
5 cos5
x + 2
7 cos7
x − 1
9 cos9
x + c, substituce t = cos x]
2. cos5
x dx
sin x − 2
3 sin3
x + 1
5 sin5
x + c, substituce t = sin x]
3. sin3
x
cos4 x dx
− 1
cos x + 1
3 cos3 x + c, substituce t = cos x]
4. sin x·cos x
1+sin4 x
dx
1
2 arctan(sin2
x) + c, substituce t = sin x, u = t2
5. (2+sin x) cos x
sin2 x−2 sin x+5
dx
1
2 ln sin2
x − 2 sin x + 5 3
2 + arctan sin x−1
2 + c, substituce t = sin x]
6. dx
1+3 cos2 x
1
2 arctan tan x
2 + c, substituce t = tan x, u = t
2
7. sin x−cos x
sin x+2 cos x dx
−3
2 ln |tan x + 2| + 3
10 ln tan2
x + 1 − 1
5 x + c, substituce t = tan x]
23
MB000 Matematická analýza DDÚ
20 Riemannův integrál
Spočtěte určité integrály:
1.
3
−1
3
√
x dx
9 3√
3−3
4
2.
2
0
e2x
dx
1
2 e4
− 1
2
3.
0
−1
1√
9−9x2
dx
π
3
4.
1
0
x arctan x dx
π
4 − 1
2
5.
1
0
x2
ex
dx
[e − 2]
6.
1
0
x
ex dx
(Rada: x
ex = x 1
ex = xe−x
a dále Per partes.)
1 − 2
e
7.
e
1
ln x dx
[1]
8.
0
−π
sin2
x dx
π
2
9.
1
0
arcsin x dx
[π − 1]
10.
1
0
arccos x dx
[1]
24
MB000 Matematická analýza DDÚ
11.
2
1
ln x
x dx
1
2
12.
1
0
x2
x2+1 dx
1 − π
4
13.
π
4
0
tan2
x dx
1 − π
4
14.
π
−π
sin3
x cos3
x dx
[0]
15.
1
0
√
x
(1+ 3
√
x)2 dx
167
10 − 21π
4
16.
1
−1
f(x) dx, f(x) = 0 pro x = 0 a f(x) = 1 pro x = 0
(Rada: Rozdělte si integrál na dva, podle vzorečku o záměně
součtu integrálů přes sousedící intervaly za integrál přes součet
těchto dvou intervalů. Integrál přes ”‘jednobodový interval”’
I = 0 je roven nule, proto se nemusíte bát tento bod
vypustit a zbydou integrály přes −1, 0 a 0, 1 z konstantní
funkce.)
[2]
17.
2
−1
sgn(x) dx
[3]
21 Aplikace integrálu
21.1 Plocha rovinného obrazce
1. Určete obsah podgrafu funkce y = 1 na intervalu 1, 2 .
[1]
25
MB000 Matematická analýza DDÚ
2. Určete obsah podgrafu funkce y = |x| na intervalu −1, 1 .
[1]
3. Určete obsah nadgrafu funkce y = −x na intervalu 0, 1 .
(Pozn. Plocha musí být kladná, proto musíme počítat ”− ”.
Nadgraf je omezen shora osou x.)
1
2
4. Určete velikost plochy omezené grafem funkce y = cos x a
osou x na intervalu −π
2 , 3π
2 .
[4]
5. Určete velikost plochy určené grafy funkcí y = 2x
, y = 2 a
přímkou x = 0.
2 − 1
ln 2
6. Určete velikost plochy sevřené mezi grafy funkcí y = 2x − x2
a y = x2
− 2x.
(Pozn. Plochu musíme rozděli na část nad osou a část pod
osou, obě musíme brát kladné.)
32
15
7. Určete velikost plochy sevřené mezi grafy funkcí y = x a
y = x3
.
[1]
21.2 Délka křivky
1. Určete délku grafu funkce y = 3 na intervalu −10, 10 .
[20]
2. Určete délku grafu funkce y = 2
3 x
√
x na intervalu 0, 2 .
2
√
3 − 2
3
3. Určete délku grafu funkce y = x mezi body [0, 0] a
√
2,
√
2 .
[2]
4. * Určete délku grafu funkce y = ln x na intervalu
√
3,
√
8 .
1 + 1
2 ln 3
2
26
MB000 Matematická analýza DDÚ
21.3 Objem rotačního tělesa
1. Určete objem rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce
y = cos x kolem osy x na intervalu 0, π
2 .
π2
4
2. Určete objem rotačního válce o výšce 10 a poloměru 2.
[40π]
3. Určete objem koule o poloměru 3.
(Pozn. y =
√
r2 − x2.)
[36π]
21.4 Povrch pláště rotačního tělesa
1. Určete povrch pláště rotačního tělesa vzniklého rotací grafu
funkce y = x kolem osy x na intervalu −1, 1 .
2
√
2π
27