Algebra I, 1. termín, úloha 1, 13.1. 2006
Jméno : UCO :
Necht' G = (G, •) je grupa a H její podgrupa.
a) Klademe
aH = ...................................., G/H = .............................................
Pozor : pokud nezvládnete tuto část, zbytek "řešení" teto úlohy se při opravě ignoruje.
b) Pro (G, •) = (S3, o), H = {id, (1, 2)} doplňte
G/H = .........................................................
c) Pro a, b E G je ekvivalentní : aH = bH a b-1a E ...................
Důkaz. == :..........................................................
: ....................................................................
d) G/H je rozklad ňa mňoziňe G :
(i) lib. trída je ňeprázdňa, ňebot' .......................................
(ii) ........................., ňebot' ......................................
(iii) ............................., ňebot' .................................
e) Podgrupa H je ňormalňí v G, je-li .......................................................
f) Necht' H je ňormálňí podgrupou grupy G. Na mňoziňe G/H defiňujeme operaci • vztahem
.................................................................... (*)
g) Korektňost defiňice : Míme ukazat, ze ............................................... implikuje .................................
h) Dukaz korektňosti :
i) Ukažte, ze pro (G, •) = (S3, o), H = {id, (1, 2)} predpis (*) ňeňí korektňí.
Body : 3,3,7,7,2,2,4,7,5
Algebra I, 1. termín, úloha 2, 13.1. 2006
Jméno : UCO :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P, Q, R, S, T} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L — P,  P — S,  R, S, T — T,  Q — R, b : L, Q, S, T — T,  P, R — Q.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R, kde pro p, q E M :
p R q -<=/- ( 3 u, v E M )( pu = q & qv = p ) . Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, úloha 3, 13.1. 2006
Jméno : UCO :
a) Nechť (S4, o) je grupa všech permutací množiny {1,2,3,4}. Je množina
H = { a o p | a, P transpožice ž S4 }
její podgrupou ?
(Odpoveď ano/ne: ± 4 body, dUkaž/protipríklad: 6 bodu.)
b) Necht'
f : R - R, f (x) = e~x .
Je to homomorfismus pologrupy (R, •) do pologrupy (R, +) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je multiplikativní pologrupa okruhu (Z2[x], +, ■)/{x2 + x + 1) izomorfní s pologrupou (Z4> ■) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení izomorfismu/uvedení vlastnosti zachovávané izo-morfismy, v níZZ se tyto grupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 2. termín, úloha 1, 27.1. 2006
Jméno : UCO :
a) Existuje prostý homomorfismus ohruhu (Z4, +,.) do nějakého telesa ?........Zdůvodnění
Necht' v b) - g) je R = (R, +, •) obor integrity.
b) Pri konstrukci podíloveho telesa okruhu R jsme definovali na množine
relaci ~ vžtahem.......................................
c) Relace ~ je
d) Dokažte transitivitu relace ~. Spatný dukaž je hodnocen -10 body.
e) Dále jsme na množině.......................... definovali operace + a • vztahy
f) Dokažte korektnost definice operace + :
g) Vžtah meži okruhem R a jeho podílovým telesem (Q(R), +, •) : Zobrazení i : R — Q (R) definovane predpisem a —............je............
h) Co se stane, aplikujeme-li výse uvedenou konstrukci na teleso ?
i) Co se stane, aplikujeme-li výse uvedenou konstrukci na (Z4, +,.) ?
Body : 4,3,3,8,3,8,4,3,4. Prípadné záporné body se počítají jen v rámci této úlohy; minimálni počet bodu je tedy 0.
Algebra I, 2. termín, úloha 2, 27.1. 2006
Jméno : UCO :
V monoidu T (X) všech transformací množiny X = {K, L, M, N, O} s operací skládání generujte podmonoid S C T (X) množinou {f, g}, kde
f : K i-* L, L, M i-* N, N, O ^ O, g : K, N — M, L — K, M, O — O. Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu S.
V monoidu S popiste relaci L, kde pro p,q E S :
p L q <í=^ ( 3 u, v E S )( up = q & vq = p ) . Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 2. termín, úloha 3, 27.1. 2006
Jméno : UCO :
a) Nechť A = {a,b,c}, R = 2AxA a pro p, t E R klademe
p k t = { (x, z) | existuje y E A ťak, ze (x, y) E p, (y, z) E t } .
Je množina
S = { p C A x A | existují x,y,z E A ťak, že x = y, (x, z), (y, z) E p }
podpologrupou pologrupy (R, k) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaz/proťipnklad: 6 bodu.)
b) Je zobrazení ^ P p + s homomorfismem okruhu
( { ( a C) I a, b, c E R }, +, • )
do okruhu (R, +, •) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/proťipnklad: 6 bodu.)
c) Je pologrupa (Sn, o)/An, n E N, izomorfní s pologrupou (Z2, •) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení izomorfismu/uvedení vlastnosti zachovávane izo-morfismy, v ní:z se tyto pologrupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 3. termín, úloha 1, 3. 2. 2006
Jméno : UCO :
Necht' T (A) značí množinu vsech transformací množiny A a necht' S (A) značí množinu všech permutací množiny A ( = bijekcí A na A ). Necht' o je operace skladaní zobrazení. Píšeme Sn místo S({1,..., n}).
a) Pro která m, n E N je (Sm, o,id) izomorfní s podgrupou monoidu (Tn, o,id) ? Prave pro ..................
Skutecne, .........................................................
b) Cayleyho veta pro monoidy :
Libovolná monoid (M, •, e) je izomorfní.................... monoidu...........................
Dukaz : Skutecne, definujeme
p : M — ............. , a — pa, kde
pa : x — .......................
Pak pa E ......................... ,
c) Cayleyho veta pro grupy : Libovolní grupa (M, •) je izomorfní................
Dukaz : Vyuzijeme-li c), zbíva dokazat, ze A to platí, nebot' ........................................
d) Cayleyho veta pro pologrupy : Libovolní pologrupa (M, •) je izomorfní
Dukaz : Skutecne, ............................
e) Pro kterí n E N je (Z24, +) izomorfní podgrupe grupy (Sn, o) ? Prave pro
Dukaz : 1. Pro ............. [1]24 — ..................... definuje................homomorfismus.
Skutecne, ......................
2. Pro..............není v (Sn, o) prvek radu
Skutecne, ......................
Body : 6,8,8,8,10
Algebra I, 3. termín, úloha 2, 3. 2. 2006
Jméno : UCO :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P, Q, O} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b}, kde
a : L — P,  P, Q — L,  O — O, b : L, P — Q,  Q, O — O.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci D, který je nejmensí evivalencí na množine M obsahující relace R i L. Pritom pro p, q G M :
p R q -<=/- ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q -<=/- ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) . Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 3. termín, úloha 3, 3. 2. 2006
Jméno : UCO :
a) Nechť A = {a,b,c}, R = 2AxA a pro p, t E R klademe
p-k t = { (x, z) | existuje y E A ťak, ze (x, y) E p, (y, z) E t } .
Je množina
S = { p C A x A | pro každe x E A existuje y E A ťak, že ( (x, y) E p nebo (y, x) E p ) }
podpologrupou pologrupy (R, k) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaz/proťipnklad: 6 bodu.)
í P  0 \
b) Je zobrazení a : I       ^1 i—► p homomorfismem okruhu
( { ( a  C) I a,b,c E R }, +, • )
do okruhu (R, +, •) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/proťipnklad: 6 bodu.)
c) Jsou grupy (Z, +) a (Q, +) izomorfní ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení izomorfismu/uvedení vlastnosti zachovávane izo-morfismy, v níz se tyto grupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.