Algebra I, 1. termín, úloha 1, 18. 1. 2007
Jméno :
Pokud používáte zlomky, musíte je definovat !!
a) Existuje prostý homomorfismus ohruhu (Z2, +,.) x (Z3, + ,.) do nějakého telesa ? Zdůvodnění:
Nechť v b) - g) je R = (R, + , •) obor integrity.
b) Pri konstrukci podíloveho telesa okruhu R jsme definovali na množine
relaci ~ vžtahem.......................................
c) Relace ~ je
d) Dokažte transitivitu relace ~. Spatný dukaž je hodnocen -10 body.
e) Dale jsme na množine Q (R) = ..........................definovali operace + a • vžtahy
f) Dokažte korektnost definice operace + :
g) Vžtah meži okruhem R a jeho podílovým telesem (Q(R), +, •) : Zobražení i : R — Q (R) definovane predpisem a —............je............................
h) Pro okruh (R, +, •) definujeme okruh (R[i], +, •) vžtahy
R [i] = R x R, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) • (c, d) = (ac — bd, ad + bc) .
Prvky mužete psat ve tvaru a+bi. Jak vypadají prvky Q (Z [i]) ?...............................................
i) Platí, že okruhy ((Q(Z)[i], +, •)) a (Q(Z[i]), +, •) jsou ižomorfní. Ižomorfismem je žob-ražení
Dokažte, že vas predpis skutecne korektne definuje žobražení.
Body : 3,3,3,7,3,7,4,3,7. Prípadné záporné body se počítají jen v rámci této úlohy; minimálni počet bodu je tedy 0.
Algebra I, 1. termín, úloha 2, 18. 1. 2007
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P, Q, R, 5, T} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L — P, P, Q, R, T — Q, 5 — T, b : L — R, P, 5, T — 5, Q, R — Q. Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R a L, kde pro p, q G M :
p R q -<=>- ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q -<=>- ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) . Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, úloha 3, 18. 1. 2007
Jméno :
a) Nechť e = cos ?f + i sin . Rozhodněte, zda množina { a + be \ a,b E Z } je podmono-idem monoidu (R, •).
(Odpověd' ano/ne: ± 4 body, důkaz/protipříklad: 6 bodu.)
b) Necht'
a : R[x] \ {0}     Z, a(f) = stupeň f .
Je to homomorfismus pologrupy (R[x] \ {0}, •) do pologrupy (Z, •) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaz/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je multiplikativní pologrupa okruhu (Z2[x]/(x2), +, •) izomorfní s pologrupou (Z4, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovívane ižo-morfismy, v níž se tyto pologrupy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 2. termín, úloha 1, 25. 1. 2007
Jméno :
Necht' T (A) značí množinu vsech transformací množiny A a necht' S (A) značí množinu všech permutací množiny A ( = bijekcí A na A ). Necht' o je operace skládání zobrazení. Pro A = {1,..., n} píšeme strucne Tn a Sn.
a) Pro kterí m, n E N je (Tm, o) izomorfní s podpologrupou grupy (Sn, o) ? Príve pro
Skutecne,
b) Cayleyho veta pro monoidy :
Libovolní monoid (M, •, e) je izomorfní.................... monoidu...........................
Dukaz : Skutecne, definujeme
p : M —► ............. , a i—► pa, kde
pa : x — .......................
Pak pa E ......................... ,
c) Cayleyho veta pro grupy : Libovolna grupa (M, •) je izomorfní................
Dukaz : Vyuzijeme-li c), zbíva dokazat, ze A to platí, nebot' ........................................
d) Cayleyho veta pro pologrupy : Libovolní pologrupa (M, •) je izomorfní
Dukaz : Skutecne, ............................
e) Pro kterí n E N v (Si0, o) existuje podgrupa izomorfní se (Zn, +) ? Prave pro Skutecne, ......................
Body : 6,9,9,8,8
Algebra I, 2. termín, úloha 2, 25. 1. 2007
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P, Q, R, S} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L, P, Q — P, R, S ^ S,
b : L, Q i-* R, P i-* Q, R, S ^ S.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R a L, kde pro p, q E M :
( 3 u, v E M )( pu = q & qv = p )
p L q <í=^ ( 3 u, v E M )( up = q & vq = p ) .
Popiste tež relaci D, ktera je nejmensí ekvivalencí obsahující relace R a L. Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 2. termín, úloha 3, 25. 1. 2007
Jméno :
a) Tvoří množina { a + bi | a, b G Z } podteleso telesa (C, +, •) ? (Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaž/přotipříklad: 6 bodů.)
b) Necht'
a : Z4[x] — { — to, 0,1,... }, a(f) = stůpen f .
Je to homomořfismůs pologřůpy (Z4[x], •) do pologřůpy ({ — to, 0,1,... }, +) ? Přitom oo+a = a + to přo vs. a.
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaž/přotipříklad: 6 bodů.)
c) Je gřůpa (R, +) x (R, +) ižomořfní s gřůpoů (C, +) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, ůvedení ižomořfismů/ůvedení vlastnosti žachovávane ižo-mořfismy, v nížž se tyto gřůpy lisí: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatků místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 3. termín, úloha 1, 31. 1. 2007
Jméno :
a) Definujte polynom nad komutativním okruhem (R, + , •). Je to posloupnost ...
b) Definujte součin dvou polynomu.
c) Jake vlastnosti má struktura (R[x], +) ?
d) Proč muzeme psát polynomy ve tvaru anxn + ... + a\x + a0 ?
e) Definujte násobnost kořene.
f) Definujte deřiváci polynomu.
g) Necht' c E R je fc-násobný kořen polynomu f E R[x]. Pák c je álespon
h) Dokážte tvrzení z g) (ná dřuhou střánu tohoto pápářu). Potřebujete-li pomocný vztáh přo deřivováná součinu, uved'te ho (bez dukázu).
i) Necht' (R, +, •) je teleso...................................
Necht' c E R je fc-násobný kořen polynomu f E R [x]. Pák c je
j) Necht' f E C [x] je sesteho stupne s trojnásobným kořenem a, dvojnásobným kořenem b á jednoduchám kořenem c. Co muzeme říci o kořenech polynomu f' ?
Body : 3,3,4,4,3,3,3,10,3,4.
Algebra I, 3. termín, úloha 2, 31. 1. 2007
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, P, Q, R} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b}, kde
a : L — P, P — Q, Q, R — R, b : L, R — R, P, Q — P.
Vásledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R, L a H = Rn£, kde pro p, q G M :
p R q -<=>- ( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p ) ,
p L q -<=>- ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) . Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 3. termín, úloha 3, 31. 1. 2007
Jméno :
a) Tvoří množina { a + bi | a, b G Z } podteleso telesa (C, +, •) ? (Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaž/přotipříklad: 6 bodů.)
b) Necht'
a : Z [x] — {—to, 0,1,... }, a(f) = stůpen f .
Je to homomořfismůs pologřůpy (Z[x], +) do pologřůpy ({—to, 0,1,... }, +) ? Přitom —to + a = a + (—to) = —to přo vs. a.
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaž/přotipříklad: 6 bodů.)
c) Je monoid (R, •) x (R, •) ižomořfní s monoidem (C, •) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, ůvedení ižomořfismů/ůvedení vlastnosti žachovávane ižo-mořfismy, v nížž se tyto monoidy lisí: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.