Algebra I, 1. termín, úloha 1, 17. 1. 2008
Jméno :
Necht' G = (G, •) je grupa a H její podgrupa.
a) Klademe
aH = ...................................., G/H = .............................................
Pozor : pokud nezvládnete tuto část, zbytek 'řešení" teto úlohy se při opravě ignoruje.
b) Pro (G, •) = (S3, o), H = {id, (1, 3)} doplňte
G/H = .........................................................
c) Pro a, b E G je ekvivalentní : aH = bH a b-1a E ...................
Důkaz. == :..........................................................
: ....................................................................
d) G/H je rozklad ňa mňoziňe G :
(i) lib. trída je ňeprazdňá, ňebot' .......................................
(ii) ........................., ňebot' ......................................
(iii) ............................., ňebot' .................................
e) Podgrupa H je ňormalňí v G, je-li .......................................................
f) Necht' H je ňormalňí podgrupou grupy G. Na mňoziňe G/H defiňujeme operaci • vztahem
.................................................................... (*)
g) Korektňost defiňice : Máme ukazat, ze ............................................... implikuje .................................
h) Dukaz korektňosti :
i) Ukažte, ze pro (G, •) = (S3, o), H = {id, (1, 3)} predpis (*) ňeňí korektňí.
Body : 3,3,7,7,2,2,4,7,5
Algebra I, 1. termín, úloha 2, 17. 1. 2008
Jméno :
V monoidu T (A) všech transformací množiny A = {L, M, N, O} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b,c}, kde
a : L, M — M, N — N, O — O, b : L, M — L, N, O — O, c : L, O — O, M, N — N.
Výsledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M. Pritom rádky i sloupce indexujte reprezentanty ve vojenskem usporadýní.
V monoidu M popiste relaci R a L, kde pro p, q G M :
( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p )
p L q -<=/- ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 1. termín, úloha 3, 17. 1. 2008
Jméno :
a) Je množina { a + b\f2 + c\[4 | a, b, c E Q } podtelesem telesa (R, +, •) ? (Odpověď ano/ne: ± 4 body, důkaž/protipříklad: 6 bodů.)
b) Necht'
a : Z6[x] \ {0} —► Z, a(f) = stůpen f . Je to homomorfismůs pologrůpy (Z6[x] \ {0}, •) do pologrůpy (Z, +) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkaž/protipříklad: 6 bodů.)
c) Je (C, •) izomorfní s (R, •) x (R, •) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, ůvedení ižomorfismů/ůvedení vlastnosti žachovávane ižo-morfismy, v nížž se tyto pologrůpy lisí: 6 bodů.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný pocet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 2. termín, úloha 1, 31. 1. 2008
Jméno :
a) Definujte polynom nad komutativním okruhem (R, + , •). Je to posloupnost ...
b) Definujte součin dvou polynomu.
c) Jake vlastnosti má struktura (R[x], +) ?
d) Proč muzeme psát polynomy ve tvaru anxn + ... + a\x + a0 ?
e) Definujte násobnost kořene.
f) Definujte deřiváci polynomu.
g) Necht' c E R je fc-násobný kořen polynomu f E R[x]. Pák c je álespon
h) Dokážte tvrzení z g) (ná dřuhou střánu tohoto pápářu). Potřebujete-li pomocný vztáh přo deřivováná součinu, uved'te ho (bez dukázu).
i) Necht' (R, +, •) je teleso...................................
Necht' c E R je fc-násobný kořen polynomu f E R [x]. Pák c je
j) Necht' f E C [x] je sesteho stupne s trojnásobným kořenem a, dvojnásobným kořenem b á jednoduchám kořenem c. Co muzeme říci o kořenech polynomu f' ?
Body : 3,3,4,4,3,3,3,10,3,4.
Algebra I, 2. termín, úloha 2, 31. 1. 2008
Jméno :
V monoidu M = T (A) všech transformací množiny A = {L, P,Q, R, S,T} s operací skládání generujte podmonoid M C T (A) množinou {a,b}, kde
a : L — P,  P — S,  R, S, T — T,  Q — R, b : L, Q, S, T — T,  P, R — Q.
Vásledek žádejte multiplikativní tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relaci R, L a H = Rn£, kde pro p, q G M :
( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p )
p L q <í=^ ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 2. termín, úloha 3, 31. 1. 2008
Jméno :
a) Necht' A je množina. Tvoří {f : A — A | |f (A)| > 2} podmonoid monoidu (T(A), o) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
b) Množina G = | ^ 0        | p, a E Q, p = o| spolu s operací násobení matic tvoří
pa 0 1
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
Je zobrazení a : (  o   i  ) — P homomorfismem teto grupy do grupy (R*, •) ?
c) Je okruh (Z2[x], +, 0/(x2 + x + 1) izomorfní s okruhem (Z2[x], +, 0/(x2 + 1) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovívane ižo-morfismy, v níž se tyto monoidy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.
Algebra I, 3. termín, úloha 1, 12. 2. 2008
Jméno :
a) Existuje prostý homomorfismus ohruhu (Z, +,.) do nějakého telesa ?........Zdůvodnění
Necht' v b) - g) je R = (R, +, •) obor integrity.
b) Pri konstrukci podíloveho telesa okruhu R jsme definovali na množine............
relaci ~ vžtahem.......................................
c) Relace ~ je
d) Dokažte transitivitu relace ~. Spatný dukaž je hodnocen -10 body.
e) Dále jsme na množině.......................... definovali operace + a • vztahy
f) Dokažte korektnost definice operace + :
g) Vžtah meži okruhem R a jeho podílovým telesem (Q(R), +, •) : Zobrazení i : R — Q (R) definovane predpisem a —............je.......
h) Co se stane, aplikujeme-li výse uvedenou konstrukci na teleso ?
i) Co se stane, aplikujeme-li výse uvedenou konstrukci na (Z6, +,.) ?
Body : 4,3,3,8,3,8,4,3,4. Prípadné záporné body se počítají jen v rámci této úlohy; minimálni počet bodu je tedy 0.
Algebra I, 3. termín, úloha 2, 12. 2. 2008
Jméno :
V monoidu T (A) vsech transformací množiny A = {P, Q, R, S} s operací skladýní generujte podmonoid M C T (A) množinou {a, b, c}, kde
a : P, Q — Q, R, S — S, b : P, Q — P, R, S — S, c : P, R — S, Q, S — R.
Vyýsledek žadejte multiplikativnýí tabulkou monoidu M.
V monoidu M popiste relace R a L, kde pro p, q G M :
( 3 u, v G M )( pu = q & qv = p )
p L q -<=>- ( 3 u, v G M )( up = q & vq = p ) Požor : transformace aplikujeme žprava.
Algebra I, 3. termín, úloha 3, 12. 2. 2008
Jméno :
a) Necht' A je množina. Tvoří { f : A — A | |f (A)| < |A| } podmonoid monoidu (T (A), o)?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, dukaž/protipríklad: 6 bodu.)
b) Množina G = | ^ Q | p,a G Q, p = q| spolu s operací násobení matic tvoří grupu (G, •).
Je zobrazení a : (  q   ^ J ^ a homomorfismem teto grupy do grupy (R*, •) ? (Odpoved' ano/ne: ± 4 body, důkáž/protipríklad: 6 bodu.)
c) Je okruh (Z2[x], +, -)/(x2 + 1) izomorfní s okruhem (Z2[x], +, -)/(x2 + x) ?
(Odpoved' ano/ne: ± 4 body, uvedení ižomorfismu/uvedení vlastnosti žachovávane ižo-morfismy, v níž se tyto monoidy lisí: 6 bodu.)
Záporné body se počítají pouze v rámci úlohy 3, tj. minimální možný počet bodů za tuto úlohu je 0. V prípade nedostatku místa pokračujte na zadní stranu.