3. Skalární součin
25
3. SKALÁRNÍSOUČIN
Teorie
3.1. Definice. Necht' V je vektorový prostor nad polem K .Pak skalární součin na V je bilineární symetrická forma, tj. zobrazení (    ,    ) : V x V — K takove, ze (x,x) > 0 pro x G V, x = o. (To znamena, Ze př-ísluSnakvadratická forma je pozitivne definitní.) Reálný vektorový prostor se skaiarním souCinem nazývame euklidovský prostor.
3.2. Definice. Necht' R" je vektorový prostor. Definujeme skalárnísouCin pro x,y G R", x = (xi,X2,...,X"), y =(yi,y2,---,y«)jako (x, y) = Y1í=í XiVi. Takto definovaný skalarní soucin nazývame standardní skalární součin.
Euklidovský vektorový prostor R" se standardním skalarním soucinem budeme znacit En.
3.3. Definice. Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo \\v\\ =
3.4. Veta. (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro kačdí dva vektory v euklidovskám prostoru V platí
|(u, v)| < ||u||||v||
3.5. Definice. Necht V je euklidovskýprostor, u, v G V. Uhel,který vektory u a v svírají je císlo a G(0,n) takove, ze
(u, v)
cos a = j—......
| u|| v|
3.6. Definice. Dva vektory u, v G V,kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (orto-gonalní),pokud (u, v) =0.
Dva vektory u, v G V,nazveme ortonormalní, pokud jsou ortogonalní (tj. (u, v) = 0) a pokud jejich velikost je rovna jedne (tj. ||u|| = 1 A||v|| = 1).
3.7. Veta. Necht V je euklidovsky prostor a v1,v2,...,vk G V jsou po dvou ortogonální vektory různáod nulováho. Pak jsou tyto vektory lineárnč nezávislá.
3.8. Definice. Bazi tvorenou ortogonalními vektory nazveme ortogonalnébaze.Bazi tvorenou ortonormalními vektory nazveme ortonormélníbaze.
3.9. Veta. Nechť V je euklidovsky prostor a u1,u2,...,uk G V libovolná vektory. Pak existují ortogonálná vektory v1 ,v2,...,vk G V,která generujá tentýZ prostor jako vektory u1,u2,..., uk, to znamená
[ui,u2,...,ufe] = [vi,v2,...,vfe ].
26
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Algoritnus, s jehožpomocílze nalézt vektory Vi,v2,...,vk se nazýváGrammův-Schmidtův ortogonalizační proces a je popsán v ůloze 1.
3.10. Definice. Řekneme, ze množiny A, B C V jsou ortogonálnámnoZiny (ozn. A _L B) jestliže
Vu e A, Vv e B : (u, v) = 0
3.11. Definice. Ortogonální doplněk množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V nazveme množinu
Ax = {u G V : (u, v) = 0, Vv G A}
3.12. Definice. Necht' V je euklidovský prostor a U C V je vektorový podprostor ve V. Kolmá projekce vektoru v G V do U je vektor Pv G U takový, že v — Pv _L U.
3.13. Veta. Necht' V je euklidovský prostor a U C V je podprostor. Potom U © Ux = V. _Řešené příklady
"Úloha 1: Použijte Grammuv-Schmidtuv ortogonalizaCní proces na bazi a : ui = (2, 0, —1)T, u2 = (—1,1,1)T, u3 = (1,1,1)T vektoroveho prostoru E3.
Řešení: Budeme hledat ortogonalníbazi /3 :[v1 ,v2,v3]
1) Za v1 zvolíme libovolne jeden ze tř-ívektorupuvodníbaze a ,napr.
v1 = u1
atedy
v1 = (2, 0, —1)T
2) Hledíme druhý vektor baze v2 ve tvaru
v2 = u2 + P1v1
tuto rovnost skalýrne vynasobíme vektorem v1
(v1,v2) = (v1,u2) + P1 (v1,v1)
pozadujeme, aby vektory v1,v2 byly kolme, proto skalarnísoucin (v1,v2) =0; zbyleskalarní souciny muzeme uz lehce spocítat (v1 ,u2) = —3, (v1 ,v1) = 5, pak
3
0 = —3 + 5pi   z toho plyne    Pi = -
5
5
T
3. Skalárnísoučin 27 atedy
u2 = (-1,1, l)r + |(2, O,
5
A 2
(š'1'
můžeme do baze zvolit libovolnynasobek tohoto vektoru, pro snadnější počítaní tedy volme
V2 = (1, 5, 2)T
3) Nynízbývá najít jeStetretívektor báze v3,kterí musíbýt kolmý k obema předchozím vektorům vi a v2;predpokladejme jej ve tvaru
V3 = U3 + qiVi + ?2V2
tuto rovnost nejdšíve skalarne vynasobíme vektorem v1 a pak vektorem v2, číímzdostavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznímych q1 a q2
<V3,Ui) = <U3,Ui) + qi<Ui,Ul) + q2<V2,Ui) (V3,V2) = (U3,V2) + qi(Vi,V2) + q2^2,V2)
zpozadavku vzíjemne ortogonality vsech vektorubaze P plyne
0 = 1 + 5^i   z toho plyne   q\ = —-
5
4
0 = 8 + 30(?2   z toho plyne   qi =--
15
tedy
= (1,1, l)r - 1(2, 0,        - ^(1, 5, 2)r =(i -i 2
T
)
5V~'"'   ~'      15v''"'_/      V3' 3'3 opet muzeme do baze P zvolit libovolnynasobek tohoto vektoru, napr.
V3 = (1,-1, 2)T
atedy P =[(2, 0, -1)T, (1, 5, 2)T, (1, -1, 2)T]
Úloha 2: Necht' W = [(1, -1,1, 0, 0)T, (1, 0,1, 0,1)T, (1,1, 0, -1,1)T] je podprostor v E5 .Najdete ortogonílnídoplnek WL tohoto podprostoru.
Řešení: Podle definice 3.10. je ortogonílnídoplnek podprostoru mnozina vsech vektoru kolmých ke vsem vektorum zadaneho podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zrejme, ze stačí hledat mnozinu vsech vektorukolmích k vektorum baze podprostoru W .Označíme
28
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
si vektory baze postupne v^v2,v3 auvazujeme libovolný vektor x = (x1,x2,x3, x4,x5)T takový, Ze x G Wx, pak platí:
x G Wx   pravekdyZ   x _L v1 A x _L v2 A x _L v3
atedy
x G Wx   pravekdyZ   (x, w1) =0; (x, v2) =0; (x, v3) =0
x1   —x2  +x3 =0 ztohoplyne       x1 +x3 +x5   = 0
x1   +x2 —x4  +x5  = 0
dale rešíme tuto soustavu rovnic pro nalezenítvaru vektoru x Úpravou na schodovitý tvar pomocíelementarních rýdkových uprav
1  —110   0  |  0 \      / 1   —11     0   0  |  0 \ 10101   |  0     -     010     01   |  0 -
110 —11 | 0 j   \ 02 —1 —11 | 0 y
/ 1   —110  0  |  0 \ ~    0    1    0  0  1   | 0
\ 0 0 111 | 0 y
zavedeme parametry a, b adostavame:
x5 = b; x4 = a; x3 = —a — b; x2 = —b; x1 = a
podprostor vektoru x,coZjepodprostor vektorukolmých na vektory baze podprostoru W, a tedy ortogonýlnídoplnek podprostoru W, je generovan vektory, kterédostavame nezavislou volbou parametru a a b
Wx = [(1, 0, —1,1, 0)T, (0, —1, —1, 0,1)T]
"Úloha 3: Najdete kolmý prumet vektoru v do podprostoru W =[w1,w2]v E4,kde W1 = (1, —1, —1, 2)T, W2 = (3,1, 0,1)T, v = (—2, 2, 2, 5)T.
RRešení: Kolmý prumet Pv vektoru v predpokladame ve tvaru linearní kombinace vek-torubaze podprostoru W,do ktereho promítýme
Pv = a1w1 + a2w2
Aby slo o kolmou projekci, musíbýt podle definice 3.11. vektor v — Pv kolmý na podprostor W,a tedy musí platit:
v — Pv _L w1 v — Pv  _L w2
3. Skalárnísoučin
29
ztohoplyne
(v, wi)— ai(wi,wi)— 02(^2,^1)   = 0
(v, W2)-ai(W2,Wi)-a2(W2,W2)    = 0
po vyčíslení skalárních součinůdostáváme:
—7ai   —6a2
-Pífl , -11 On
1   —6ai   —11a2  = 0 resením teto soustavy rovnic je ai = 2 a a2 = —1, tedy
Pv = 2(1,1, —1, 2) — (3,1, 0,1) = (—1,1, —2, 3)
Cvičení
1. Zjistete zda je zobrazení g : R2 x R2 — R skalárnísoučin
(a) g(x, y) = xiyi + xiy2 + Xyi + £2y2
(b) g(x, y)=4xiyi + 2xiy2 + 5^2
(c) g(x, y)= xiyi + xiy2 + xyi + 2^2
2. Zjistete, zda je zobrazení g : R3 x R3 — R skalarnísoůčin
(a) g(u, v) = 3UiVi — UiV2 — U2Vi + 2«2V2 + UiV3 + U3Vi + IÍ3V3
(b) g(u, v) = 2uivi — uiv2 — u2vi + u3v3
(č) g(u, v) = UiVi +2UiV2 — U2Vi + U2V2 + U3Vi + 2IÍ3V3
(d) g(u, v) = UiVi +2U2V2 — U2V3 — U3V2 + 3U3V3
(e) g(u, v) = 3uivi + uiV2 + U2Vi + U2V2 + U3V3
3. Ve vektorovem prostorů R2[x] je pro libovolnedva polynomy f, g definovano realne číslo (f, g). Rozhodnete, zda je takto definovan skalarnísoůčin.
(a) (f, g) = J-i f (t)g(t)dt
(b) (f, g) = 1
4. Ve vektorovem prostorů Maí22(R) je pro libovolne vektory A = ( 0i   °2  ) , B =
( 0i °2 J definovíno reílne číslo (A, B). Rozhodnete, zdaje takto definovín skalarní soůčin.
(a) (A, B) =det(A.B)
(b) (A, B) =det(A + B)
30
í. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(c) (A, B) = cii&i + a4b4
(d) (A, B) = Cíi&i + 02&2 + a3&3 + «4&4
5. Zkuste na R2 najít takový skalárnísouCin, aby vektory u a v byly na sebe kolme.
(a) u = (1, 2)T, v = (2, 3)T
(b) u = (-5, 2)T, v = (10, —4)T
6. Najdete ortogonýlní bazi podprostoru generovaneho vektory (3, 2, —4, 6)T,(8,1, —2, —16)T, (5,12, —14, 5)T,(11, 3, 4, —7)T v euklidovskem prostoru E4.
7. UrCete ortogonýlní bazi podprostoru generovaneho vektory (1, 0, 4, — 1)T,(1, —4, 0,1)T, (—4,1,1, 0)T a jeho ortogonýlního doplnku v euklidovskem prostoru E4.
8. Gramm-Schmidtovým ortogonalizaCním procesem sestrojte ortogonýlní bazi podprostoru generovaneho vektory (1,1, —1, — 1)T,(1, —1,1,1)T,(—1, —2, 0,1)T veuk-lidovskem prostoru E4.
9. V euklidovskem prostoru V naleznete ortogonalní bazi podprostoru W, je-li:
(a) V = E4, W = [(1, 2, 2, —1)T, (1,1, —5, 3)T, (3, 2, 8, —7)T]
(b) V = E4, W = [(1, 0,1, 0)T, (0,1, 0, —7)T, (3, —2, 3,14)T]
(c) V = E5, W = [(1, 2, 0,1, 2)T, (1,1, 3, 0,1)T, (1, 3, —3, 2, 3)T, (1, —1, 9, —2, —
(d) V = E5, W = [(1, —1, 0,1,1)T, (1, —1,1, 0, —1)T, (1, —2, —2, 0, 0)T, (1, —4,1, 3,4)T]
10. V euklidovskem prostoru E4 jsou dýny vektory u, v.Ukazte, ze tyto vektory jsou ortogonýlní a doplnte je na ortogonýlní bazi celeho prostoru. Pritom:
(a) u = (1, —2, 2,1)T, v = (1, 3, 2,1)T
(b) u = (2, 3, —3, —4)T, v = (—1, 3, —3,4)T
(c) u = (1, 7, 7,1)T, v = (—1, 7, —7,1)T
11. Najdete ortogonýlní bazi vektoroveho prostoru R3 [x]seskalýrním soucinem defino-vanym (f, g) = f\ f (t)g(t)dt.Najdete matici prechodu od nalezenebíze a do standardní baze [1
12. V euklidovskem prostoru E5 je dan podprostor W. Naleznete ortogonýlní bazi orto-gonalního doplňku Wx, je-li:
(a) W = {(r + s + t, —r + t, r + s, —t, s + t); r, s, t G R}
(b) W = [(1, —1, 2,1, —3)T, (2,1, —1, —1, 2)T, (1, —7,12, 7, —19)T, (1, 5, —8, —5,13)T]
13. V euklidovskem prostoru E4 naleznete ortonormýlní bazi podprostoru vektoru, které jsou ortogonalní k vektorum u =(1,1,1,1)T, v = (1, —1, —1,1)T, w = (2,1,1, 3)T.
3. Skalárnísoučin
31
14. Určete všechny hodnoty parametru a G R,pro které je zadaný vektor u z euklidovského prostoru V normovaný. Pritom:
(a) V = £5, u = (a + 1, 0,a + 2, 0,a + 1)T
(b) V = R2[x], se skaiarním součinem (/, g) = JQ1 f u = 3x2 + a
(c) V = R2[x], se skaiarním součinem (f, g) =     f u = 3x2 + a
15. Najdete ortogonýlní doplnek podprostoru P generovaneho vektory (—1, 2, 0,1)T, (3,1, —2,4)T,(—4,1, 2, —4)T v £4.
16. V euklidovskem prostoru E4 jsou dýny podprostory W = [u1,u2,u3]a S = [v], kde ui = (1,1,1,1)T, u2 = (—2, 6, 0, 8)T, ua = (—3,1, —2, 2)T, v = (1,a, 3,b)T.
(a) Naleznete ortogonalní bazi W.
(b) Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolme.
17. Najdete ortogonýlní premet vektoru (1, 2, 3)T do podprostoru generovaneho vektory (—1,1,1)T,(1,1,1)T v £3.
18. Necht' je L =[u, v, w] podprostor v E4.Najdete kolmý premet vektoru z do Lx.
(a) z = (4, 2, —5, 3)T, u =(5,1, 3, 3)T, v = (3, —1, —3, 5)T, w = (3, —1, 5, —3)T
(b) z = (2, 5, 2, —2)T, u =(1,1, 2, 8)T, v = (0,1,1, 3)T, w = (1, —2,1,1)T
19. V euklidovskem prostoru V najdete ortogonalní projekci vektoru u do podprostoru
W, je-li:
(a) V = £4, u = (—2, 2, 2, 5)T, W = [(1,1, —1, 2)T, (3,1, 0,1)T, (2, 0,1, —1)T]
(b) V = E4, u = (2, 7, —3, —6)T, W = {(r + s, r + s, —r — 3s, 2r + 3s); r, s G R}
(c) V = £4, u = (1, 2, 3, 4)T, W =[(0,1, 0,1)T]
(d) V = £4, u = (4, —1, —3,4)T, W = [(1,1,1,1)T, (1, 2, 2, —1)T, (1, 0, 0, 3)T]
20. Necht' u, v jsou vektory z euklidovskeho prostoru V .Dokazte, ze platínerovnost |||u|| — ||v|| | < IIu — v||.
21. Dokazte, ze pro libovolnych n reílnych čísel x1,x2,...,xn platínerovnost
Xi + x2 H-----Y xn       lx\-\-x\-\-----Y x\
n ~ V n
(Navod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)