A 3. písemná práce z M101. Řešte samostatně a pozorně. Nerozumíte-li
něčemu v zadání, zeptejte se. ℜ značí množinu všech reálných čísel.
1. (17 bodů) Uvažme lineární zobrazení 34
: ℜ→ℜf . Víme, že
.
0
3
0
0
1
0
0
,
2
4
2
1
0
0
1
,
1
1
1
0
1
1
0
,
1
1
1
0
0
1
1










=
























=
























=
























−=














ffff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi
( )TT
ee )1,0,0,0(,,)0,0,0,1( 414 === Lε . Užijte toho, že víte, že f je lineární, tj.
že f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z ℜ
a volit vektory x, y z { }TTTT
)0,1,0,0(,)1,0,0,1(,)0,1,1,0(,)0,0,1,1( .
b) Pak f(ei) pro i=1,...,4 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 43εεf .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Najděte matici zobrazení 4αεf , jestliže báze ( )TTT
)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(=α .
Buď můžete využít násobení matic, pak 4334
)( εεαεαε fidf ⋅= , nebo z definice i-tý
sloupec je ( )( )αief a i=1,...,4.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (nejlépe pomocí báze jako podprostor 4
ℜ a 3
ℜ ).
2. (6 bodů) Ve vektorovém prostoru [ ]x2ℜ polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými
koeficienty, tj. [ ] { }ℜ∈++=ℜ 210
2
2102 ,, aaaxaxaax najděte souřadnice
polynomu (vektoru) 1+x+x2
v bázi ( )22
,1,1 xxxx +++=β .
3. (7 bodů) Rozhodněte zda






=++−ℜ∈





== 0)(Mat 2,2 dcba
dc
ba
AM je
vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu 2×2






ℜ∈





==ℜ dcba
dc
ba
A ,,,)(Mat 2,2 , ve kterém sčítání vektorů je sčítání
matic a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení dokažte.
Tedy ověřte všechny tři podmínky a pokud některá z nich neplatí, uveďte
protipříklad.
4. (4 body) Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi
4
ℜ : (2,3,1,4)T
, (1,0,0,0) T
, (1,1,1,1) T
, (0,0,1,1) T
.
B 3. písemná práce z M101. Řešte samostatně a pozorně. Nerozumíte-li
něčemu v zadání, zeptejte se. ℜ značí množinu všech reálných čísel.
1. (17 bodů) Uvažme lineární zobrazení 34
: ℜ→ℜf . Víme, že
.
0
3
0
0
1
0
0
,
3
1
3
1
0
1
0
,
1
1
1
0
0
1
1
,
0
4
0
0
1
0
1










=
























=
























−=
























=














ffff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi
( )TT
ee )1,0,0,0(,,)0,0,0,1( 414 === Lε . Užijte toho, že víte, že f je lineární, tj.
že f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z ℜ
a volit vektory x, y z { }TTTT
)0,1,0,0(,)1,0,1,0(,)0,0,1,1(,)0,1,0,1( .
b) Pak f(ei) pro i=1,...,4 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 43εεf .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Najděte matici zobrazení 4αεf , jestliže báze ( )TTT
)1,1,1(,)0,1,1(,)0,0,1(=α .
Buď můžete využít násobení matic, pak 4334
)( εεαεαε fidf ⋅= , nebo z definice i-tý
sloupec je ( )( )αief a i=1,...,4.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (nejlépe pomocí báze jako podprostor 4
ℜ a 3
ℜ ).
2. (6 bodů) Ve vektorovém prostoru [ ]x2ℜ polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými
koeficienty, tj. [ ] { }ℜ∈++=ℜ 210
2
2102 ,, aaaxaxaax najděte souřadnice
polynomu (vektoru) 1+x+x2
v bázi ( )22
,2,1 xxxx +++=β .
3. (7 bodů) Mějme






==−ℜ∈





== 0)det()(Mat 2,2 Abcad
dc
ba
AM ,
rozhodněte zda je M vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu
2×2






ℜ∈





==ℜ dcba
dc
ba
A ,,,)(Mat 2,2 , ve kterém sčítání vektorů je
sčítání matic a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení
dokažte. Tedy ověřte všechny tři podmínky a pokud některá z nich neplatí, uveďte
protipříklad.
4. (4 body) Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi
4
ℜ : (2,3,1,4)T
, (1,0,0,0) T
, (1,1,1,1) T
, (0,0,1,1) T
.
C 3. písemná práce z M101. Řešte samostatně a pozorně. Nerozumíte-li
něčemu v zadání, zeptejte se. ℜ značí množinu všech reálných čísel.
1. (17 bodů) Uvažme lineární zobrazení 43
: ℜ→ℜf . Víme, že
.
1
0
1
0
0
1
0
,
0
1
0
1
1
1
0
,
0
1
1
1
1
0
1














=
























=
























=










fff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi
( )TT
ee )1,0,0(,,)0,0,1( 313 === Lε . Užijte toho, že víte, že f je lineární, tj. že
f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z ℜ a
volit vektory x, y z { }TTT
)0,1,0(,)1,1,0(,)1,0,1( .
b) Pak f(ei) pro i=1,...,3 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 34εεf .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Nechť ( )TTTT
)1,1,1,1(,)0,1,1,1(,)0,0,1,1(,)0,0,0,1(=α je báze. Najděte matici
zobrazení 3αεf . Buď můžete využít násobení matic, pak 3443
)( εεαεαε fidf ⋅= , nebo
z definice i-tý sloupec je ( )( )αief a i=1,...,3.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (nejlépe pomocí báze jako podprostor 3
ℜ a 4
ℜ ).
2. (6 bodů) Ve vektorovém prostoru [ ]x2ℜ polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými
koeficienty, tj. [ ] { }ℜ∈++=ℜ 210
2
2102 ,, aaaxaxaax najděte souřadnice
polynomu (vektoru) 2+x+2x2
v bázi ( )22
,1,1 xxxx +++=β .
3. (7 bodů) Rozhodněte, zda






+=+ℜ∈





== dcba
dc
ba
AM )(Mat 2,2 je
vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu 2×2






ℜ∈





==ℜ dcba
dc
ba
A ,,,)(Mat 2,2 , ve kterém sčítání vektorů je sčítání
matic a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení dokažte.
Tedy ověřte všechny tři podmínky a pokud některá z nich neplatí, uveďte
protipříklad.
4. (4 body) Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi
4
ℜ : (2,3,1,4)T
, (1,0,0,0) T
, (1,1,1,1) T
, (0,0,1,1) T
.
D 3. písemná práce z M101. Řešte samostatně a pozorně. Nerozumíte-li
něčemu v zadání, zeptejte se. ℜ značí množinu všech reálných čísel.
1. (17 bodů) Uvažme lineární zobrazení 43
: ℜ→ℜf . Víme, že
.
1
1
1
1
1
0
0
,
0
1
0
1
1
1
0
,
2
0
3
0
0
1
1














−
−
=
























=
























=










fff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi
( )TT
ee )1,0,0(,,)0,0,1( 313 === Lε . Užijte toho, že víte, že f je lineární, tj. že
f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z ℜ a
volit vektory x, y z { }TTT
)1,0,0(,)1,1,0(,)1,1,1( .
b) Pak f(ei) pro i=1,...,3 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 34εεf .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Nechť ( )TTTT
)1,1,1,1(,)0,1,1,1(,)0,0,1,1(,)0,0,0,1(=α je báze. Najděte matici
zobrazení 3αεf . Buď můžete využít násobení matic, pak 3443
)( εεαεαε fidf ⋅= , nebo
z definice i-tý sloupec je ( )( )αief a i=1,...,3.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (nejlépe pomocí báze jako podprostor 3
ℜ a 4
ℜ ).
2. (6 bodů) Ve vektorovém prostoru [ ]x2ℜ polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými
koeficienty, tj. [ ] { }ℜ∈++=ℜ 210
2
2102 ,, aaaxaxaax najděte souřadnice
polynomu (vektoru) 2+x+2x2
v bázi ( )22
2,2,2 xxxx +++=β .
3. (7 bodů) Rozhodněte, zda






=ℜ∈





== cdab
dc
ba
AM )(Mat 2,2 je
vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu 2×2






ℜ∈





==ℜ dcba
dc
ba
A ,,,)(Mat 2,2 , ve kterém sčítání vektorů je sčítání
matic a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení dokažte.
Tedy ověřte všechny tři podmínky a pokud některá z nich neplatí, uveďte
protipříklad.
4. (4 body) Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi
4
ℜ : (2,3,1,4)T
, (1,0,0,0) T
, (1,1,1,1) T
, (0,0,1,1) T
.