MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová verze: 4. kvetna 2008 1 Kombinatorika 1.1. Kolik podmnožin lze vytvořit z n-prvkové množiny? [2n] 1.2. Mám 6 jablek a 3 hrušky, chci udelat salát z peti kusu ovoce, aby tam byla nejméne jedna hruška. Kolika způsoby to lze udelat? [120] 1.3. V podniku pracuje 18 mužu a 16 žen. Kolika zpusoby lze vybrat 7 zamestnancu tak, aby mezi nimi byli a) 4 muži a 3 ženy, b) 6 mužu a 1 žena, c) aspon 4 ženy? [a) 1 713 600, b) 297 024, c) 2 309 008] 1.4. Kolika zpusoby lze rozmístit 7 kulicek a 2 kostky do devíti prihrádek? [289 575] 1.5. Rozepište všechny možnosti rozdelení 3 predmetu do 3 prihrádek, uvažujte rozlišitelné i nerozlišli-telné přredmeřty i přrihrádky. 1.6. Kolik ruzných peticiferných císel s ruznými císlicemi je možno sestavit z císlic 1, 2, 3,4, 5? [120] 1.7. Na pískovišti si hrají 4 deti, dohromady mají 10 modrých, 15 cervených a 8 zelených kulicek. Kolika zpusoby si je mohou mezi sebou rozdelit tak, aby každé díte melo alespon jednu kulicku od každé barvy? [1 070160] 1.8. Kolik anagramu lze vytvorit z písmen slova ANAPURNA, resp. VEVERKA? [3 360, resp. 1 260] 1.9. Urcete koeficient u clenu x2y4z2, xy5z polynomu P (x) = (2x — 5y + z)8. [1050 000, 0] 1.10. Kolik existuje surjektivních zobrazení množiny {1, 2,3,4,5} na množinu {a, b, c}? [150] 1.11. Kolika zpusoby lze do tri ruzných obálek rozmístit pet stokorun a pet padesátikorun tak, aby žádná obálka nezustala prázdná? [336] 1.12. Kolika zpusoby mužeme do peti dulku rozdelit po jedné kouli, máme-li k dispozici 4 bílé, 4 modré a 3 zelené koule? [230] 1.13. Urcete pocet ruzných vet, které vzniknou presmyckami ve vete "Ema má maso". [podle "pochopení" zadání: 288, 1 728, 30 240, 10080] 1.14. Na kolik nejvýše a nejméne cástí delí rovinu n ctvercu (obvodu)? [min: n +1, max: 4n2 — 4n + 2] 1.15. Na kolik cástí delí rovinu n přímek v obecné poloze? [1 (n2 + n + 2)] 1.16. Jaký je nejvyšší pocet cástí, na které je rozdelen (trírozmerný) prostor n rovinami? [ 6 [1 (n3 + 5n + 6)] 1 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 1.17. Určete součet a) 1 + 3 + 5 + ••• + (2n - 1), [n2], b) 2 + 22 + 23 + • • • + 2n. [2(2n - 1)] 1.18. Odvoďte součet pro S2 (n) = 12 + 22 + 32 +-----+ n2. [n(n+1)(2n+1) ] [ 6 ] 1.19. Určete počet rešení rovnice x1 + x2 + x3 + x4 = 9 v N, resp. v N0. [56, resp. 220] 1.20. Určete počet čtyrčifernýčh čísel, která mají čiferný součet roven 4. [20] 1.21. Pri dominu si 4 hráči delí 28 kostek mezi sebou rovným dílem. Kolika zpUsoby to mUže být provedeno? [ (7!)4 ] 1.22. Kolika zpusoby lze rozdelit do deseti očíslovanýčh prihrádek čtyri stejné modré koule a šest stej-nýčh bílýčh koulí, jestliže každá přihrádky musí být obsazena? [210] 1.23. Kolik (ruznýčh) úhlopříček má konvexní n-úhelník? 1.24. Ctyri deti hrajíčí si na pískovišti našly šest hlinenýčh a čtyři sklenené kuličky. Kolika zpusoby si je mohou rozdelit? Jak to dopadne v prípade, kdy každé díte čhče mít aspon jednu kuličku od obou druhu? [2940, 10] [ n(n-3) ] 2 Diferenční rovnice 2.1. Najdete řešení diferenční rovniče yn+2 = 2yn+n, které splnuje počáteční podmínky y1 = 2, y2 = 2. [yn = ^(V2)n + (-V2)n - n - 2] 2.2. Najdete řešení diferenční rovniče yn+2 = yn+1 + 2yn +1, které spliíuje počáteční podmínky y1 = 2, y2 =2. [yn = f 2n - 6(-1)" - 2] 2.3. Určete posloupnost, která vyhovuje diferenční rovniči yn+1 = | yn + 1 s počáteční podmínkou y1 = 1. [yn = 2(|)n - 2] 2.4. Určete posloupnost, která vyhovuje diferenční rovniči 2yn+2 = -yn+1 + yn + 2 s počátečními podmínkami y1 = 2 a y2 = 3. [yn = 4{±)n + (-1)" + 1] 2.5. Určete reálnou bázi prostoru řešení homogenní diferenční rovniče yn+4 = yn+3 + yn+1 - yn. [yn1 = 1, = n, = cos(2nn), yW = sin(2^)] 2.6. Naleznete rešení následujíčí diferenční rovniče pxk+2 - + (1 - = 0. Proveďte diskuzi řešení vzhledem k parametru p. [p = 2 : xk = c1 + c2n,p = 1 : xk = c1 + c^1--^)"] 2 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 2.7. Najdete řešení diferenční rovnice xk+2 + xk =0. [xn = ci cos(+ c2 sin(^f1)] 2.8. Vyřešte diferenční rovnici: xn + xn-1 - 2xn-2 = 2n. [xn = c1 + c2(-2)n + ^ + ^] 2.9. Určete prostor rešení nehomogenní diferenční rovnice a také prostor rešení příslušné homogenní diferenční rovnice xn+2 = 4xn+1 - 4xn + n. Dále napište explicitne jedinou posloupnost, která řeší nehomogenní rovnice a vyhovuje počátečním podmínkám x1 = 1, x2 = 2. [H : {c12n + c2n2n}, N : {c12n + c2n2n + n + 2}, PP : {-f 2n + f n2n + n + 2}] 2.10. Napište podmínky pro parametry a, b, c tak, aby prostor rešení homogenní diferenční rovnice axn+2 + bxn+1 + cxn = 0 byl prostorem periodických posloupností. [např. b2 < 4ac] 2.11. Najdeřte rřešení následujících rovnic • xn+1 2xn • xn+1 = 2xn + 1 • xn+1 = -3xn + 2n • xn+1 = 4xn + 4n2 - 1 [xn = c2n] [xn = c2n - 1] [xn = c(-3)n + 1 n - 8] [xn c4 44 n g"n fŤ"] • xn+1 2 xn, x1 1 • xn+1 22xn + 2, x1 2 • xn+2 = -xn+1 + 2xn • xn+2 = 4xn+1 - 4xn, xo = 3, x1 =2 • xn+2 - 2xn+1 = -2xn [§(§)" ] [4(f )n - 4] [xn = C1 • 1n + Cf • (-2)n] [xn = 3 • 2n - 2 • n • 2n] [xn = C1(1 + i)n + Cf(1 - i)n,nebo xn = C1(V2)n cos( ^) + Cf(V2)n sin( ^)] • xn = 3xn-1 - 2xn-2 + 2n • n, xo = 1, x1 = 2 [xn =4 - 3 • 2n + 2n • n(n - 1)] 3 Pravděpodobnost 3.1 Klasická pravděpodobnost 3.1. Hodíme n-krát po sobe kostkou. Jakáje pst, že alespon jedenkrát padne šestka? [1 - (|)n] 3.2. Určete nejvyšší možný počet hodu n z predchozího príkladu tak, aby pst, že nepadne šestka, byla veřtší než pst, že šestka padne alesponř jednou. [3] 3.3. V urne je 10 koulí - 7 bílých a 3 černé. Vytáhneme jich 5, jaká je pst, že to budou práve 3 černé a 2 bílé? [1/12] 3.4. Dvacetkrát nezávisle na sobe házíme 3 mincemi. Určete pst, že alespon v jednom hodu padnou 3 líce. [0.9308] 3.5. Z 50 výrobku, z nichž 20 je kazových, vybereme 10. Jakáje pst, že mezi vybranými výrobky bude 6 dobrých a 4 kazové? [0.2801] 3.6. Kolik pokusu s pstí p =1 - 4r musíme udelat, aby pst alespon 1 úspechu byla alespon 1 - ^ti ? [3] 3 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 3.7. Sekretářka má rozeslat pet dopisů peti různým adresátům. Dopisy vkládá do nadepsaných obálek náhodne. Jaká je pst, že alespoň jedna osoba dostane dopis urCený pro ni? [0.6333] 3.8. Ze sáCků s peti bílými a peti modrými koulemi náhodne vytáhneme 3 koůle (nevracíme). Jaká je pst, že dve bůdoů modré a jedna bílá? [0.4167] 3.9. Náhodne vybereme přirozené Císlo menší než 105. Jaká je pravdepodobnost, že bůde složeno poůze z cifer 0, 1, 5 a zároven bůde delitelné peti? [161/99 999 = 0.0016] 3.10. Z kloboůků, ve kterém je 5 bílých a 6 Černých koůlí, náhodne vytahujeme koůle. Jaká je pravdepo-dobnost, že drůhá vytažená koůle je cřerná? [6/11] 3.11. Kolik lidí můsí být minimálne ve skůpine, aby byla pravdepodobnost, že dva z nich mají narozeniny ve stejný den, vetší než 1/2? [23] 3.12. Urcete pravdepodobnost, že při hodů dvema kostkami padne soůcet 7. [1/6] 3.13. Jevy A, B, C jsoů nezávislé a mají stejnoů pravdepodobnost 0.1. Urcete P (A U B U C) [0.271] 3.14. V ůrne je šest koůlí s císly 1,2,..., 6. Koůle vybíráme náhodne a nevracíme. Jaká je pravdepodob-nost, že v žádném tahů nebůde cříslo koůle shodné s pořradím tahů? [0.3681] 3.2 Podmíněná pravděpodobnost 3.15. Jaká je pst, že pri hodů dvema kostkami padly dve petky, víme-li, že soůcet ok je delitelný peti? [1/7] 3.16. Urna obsahůje n koůlí (bílé a cerné) a víme, že byla naplnena takto: n-krát bylo hozeno kostkoů, když padla 6, vložili jsme bíloů koůli, jinak cřernoů koůli. Z takto naplneřné ůrny byly postůpneř vytaženy 2 koůle, pricemž po prvním tahů byla koůle vrácena zpet. Urcete pst, že obe tažené koůle jsoů cerné. Cn=o n2 (j) (I) (é) ] 3.17. Jaká je pst, že přri hodů dveřma kostkami padne soůcřet 5, víme-li, že ani na jedné z nich nepadla trojka? Jsoů jevy A: "ani na jedné 3" a B: "soůcet 5" nezávislé? [2/25, nejsoů nez.] 3.18. Urna byla naplneřna takto: cřtyrřikrát bylo hozeno mincí, když padl líc, byla vložena cřerná koůle, když růb, tak bílá. Postůpneř z této (promíchané) ůrny vybereme dveř koůle, přricřemž po prvním tahů koůli do ůrny vrátíme. Jaká je pst, že obeř tažené koůle jsoů bílé? [5/16] 3.19. Systém se skládá z r sériove zapojených clánků, pricemž pro zvýšení spolehlivosti je i-tý clánek složen z ni paralelne spojených bloků. Oznacme Aij j-tý blok v i-tém clánků, víme, že bloky jsoů stochasticky nezávislé a pst, že bůdoů fůngovat, je pij. Jaká je pst, že celý systém bůde OK? [T~Jr=é [1 - n;= i(1 - Pij)]] 3.20. Systém je tvořen dvema nezávislými bloky Aé a A2, pst, že blok fůngůje je ůé, resp. ů2. Urcete pst, že systém bůde pracovat správneř, jsoů-li bloky zapojeny a) sérioveř, b) paralelneř. [a) i?i • ^2,b) i?i + ^2 - tfi • ^2] 4 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 3.21. V urne jsou čtyři lístky s označené čísly 000,110,101,011. Uvažujme náhodné jevy Aj (i = 1, 2, 3) - náhodne vytažený lístek má na i-tém míste 1. Jsou tyto jevy nezávislé? [po dvou jsou nezávislé, po třech nejsou nezávislé] 3.3 Geometrická pravděpodobnost 3.22. Dvoumetrová tyč je náhodne rozdelena na tři díly. Určete pst, že alespon jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. [0.51] 3.23. Dva kamarádi se domluvili, že se setkají na určřitém místeř. Přritom každý z ničh prřijde na místo nezávisle na druhém v náhodném okamžiku mezi 19. a 20. hodinou, počká 20 minut a jestliže se druhý behem této doby nedostaví, odejde. Jaká je pst, že se setkají, resp. že prijdou současne? [5/9, resp. 0] 3.24. Ze čtverče s vrčholy [1,1], [-1,1], [-1, -1], [1, -1] náhodne vybereme bod M se souradničemi [£, n]. Určete pst, že kvadratičká rovniče x2 + £x + n = 0 má reálné koreny. [13/24] 3.25. Proti (dostatečne velké) síti se čtvercovými oky - 8 x 8 čm je kolmo vržen míček o prumeru 5 čm. Jaká je pst, že proletí bez doteku síte? [9/64] 3.26. Dve firmy dováží do občhodu zboží. Náklad'áčky pnjíždí (náhodne) mezi pátou a osmou hodinou ranní. Odbavení náklad'áčku trvá 40 minut. Určete pravdepodobnost, že jeden bude muset čekat než bude odbaven druhý. [0.3951] 3.27. Strílíme na terč o prumeru 60 čm. Jaká je pravdepodobnost, že zasáhneme středový kruh o prumeru 5 čm? (Terč zasáhneme jiste.) [0.0069] 4 Geometrie v rovině 4.1. Určete priisečík přímek p a q danýčh rovničemi p : x =1 - t, y = 2 + 2t, q : x = 2s, y =1 - s. [[2,0]] 4.2. Spočítejte velikost úhlu, který svírají vektory u = (4,3) a v = (3, 2). [cos p = 5^7=] 4.3. Otočte bod [3,1] o úhel n/2 v záporném smyslu (ve smeru hodinovýčh ručiček) kolem počátku. [[1, -3]] 4.4. Zrcadlete bod [3,1] podle osy pročházejíčí počátkem a bodem [1,1]. [[1,3]] 4.5. Je dán trojúhelník AABC: A = [1,1], B = [3, 2], C = [2,3]. a) Určete, které strany trojúhelníku ABC, jsou viditelné z bodu P = [4,4]. [BC] b) Otočte trojúhelník o 60° v kladném smyslu kolem počátku. [A' = [ í+Vsj b' = [3-2y5 2+sVsj c = [ 2-2ys 3+2V3j] č) Zrčadlete trojúhelník ABC podle přrímky p : x - y = 1. [A'' = [2 0] B'' = [3 2] C'' = [4 1]] d) Spočítejte obsah tohoto trojúhelníku. [Sa = 2] 5 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 4.6. Které strany čtyřúhelníku daného body [1,4], [2, -1], [3,3] a [4,1] vidí pozorovatel stojící v bode [7, 2]? [nevidístranu [2, -1], [1,4]] 4.7. Zrcadlete úseCku danou body A = [1,3], B = [-1,3] podle přímky y = -x. [A' =[-3, -1],B' = [-3,1]] 4.8. UrCete vol A, kde trojúhelník je ohraničen přímkami p: [0,1]+t • (1, 2), q: [2, 3/2] + s • (1, -3/2), r: [1, -1/2] + z • (-2,-1/2). [vo/A = 7] 4.9. Rovnostranný trojúhelník ležící celý v prvním kvadrantu je dán vrcholy [1, 0] a [0,1]. UrCete souřad 2 , 2 nice třetího vrcholu. [ [ 1±2^3,i++^3] ] 4.10. Z pocátku [0,0] (rovina R2 se standardní soustavou souřadnic) je vyslán laserový paprsek ve smeru (3,1). Dopadne na zrcadlovou prirnku p: [4, 3] + t • (-2,1), poté se odrazí (úhel odrazu je roven úhlu dopadu). V jakém bode dopadne odražený paprsek na přímku q: [7, -10] + s • (-1, 6)? [v žádném] 4.11. Spocítejte obsah trojúhelníku daného prímkami: p: [1,0]+t(2,1), q: [2, 8] + s(1, 3), r: [4, -1] + u(2, -4). [Sa = 10] 4.12. Napište souřadnice vrcholu trojúhelníku, který vznikne otocením rovnostranného trojúhelníku s te-žištem v bode [0,0] a vrcholem v bode C = [0,1] o 90° kolem bodu S = [1,0]. [A' = [3/2, -V3/2 - 1], B' = [3/2, - 1], C' = [0, -1]] 4.13. Co vznikne složením dvou stredových soumerností podle ruzných stredu? [posunutí o vektor v = 2(S2 - Si )] 5 Relace a zobrazení 5.1. Co lze rící o relaci "být potomkem", kterou uvažujeme na množine lidí? 5.2. Urcete, zda jsou následující relace reflexivní, symetrické, antisymetrické, tranzitivní, úplné. agb 5|a - b, a, b G Z, [Ä, S, T] A = {-2, -1,0,1, 2}, a, b G A, agb ^ a3 - a = b3 - b, [Ä, S, T] agb ^ (a = b V a = b + 1), a, b G Z, [Ä, Ats] a, b G N, agb ^ a < b, [Ä, Ats, T, U] a, b G N, agb ^ a • b = 2k - 1, k G N, [S, T] [x, y] G N x N, [xi, yi]e[x2, y2] ^ (xi < X2) V (xi = X2 A yi < y2), [Ä, Ats, T, U] • kružnice ki v R2 je v relaci g s kružnicí k2 v R2, jestliže ki leží uvnitr k2, přicemž jsou povoleny spolecřné body, [Ä, Ats, T] • A = prímky v rovine, pgq p _L q, Vp, q G A, [S] • xgy <í=> |x - y| = 3 nebo x = y, Vx, y G N, [Ä, S] • xgy ^|x| > |y|, Vx,y G Z. [Ä, T, U] 6 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 5.3. Určete, zda jsou následující relace na množině M ekvivalencemi. Pokud ano, popište příslušné třídy rozkladu. • M = N, x — y & NSD(x, y) > 1, • M = N, x — y nsn(x, y) > 1, • M = {/, f: R - R}, f — g & 3x G R : f (x) = g(x), 5.4. Zjistěte, zda zobrazení f je injektivní, surjektivní, popř. bijektivní: • f (x) = x2, x G Z, • f (x) = x2, x G N, + = [0, oo), 3x-4 • f: R+ — R+, x — x2, • x G R - {0}, f : x • x g R+, x — [x] (celá cást císla x), • f: R — R, x — 4x^j5. [není] [I, S, B] [I, S, B] [I ] [není] [I, S, B] 5.5. Jsou dána zobrazení f, f (x) = | x - 1, g, g(x) = 2x + 1. UrCete následující zobrazení • (f-1 ◦ g-x)(x), • (f ◦ g)-1(x), • (g ◦ f )(x). [ 4 x 2 ] [ 3 x- 3 ] L4x 8J [ 4 x + 3 ] 5.6. Jsou dána zobrazení f, g: Q — Q, f (x) = 3x - 4, g(x) = 2x + 5. UrCete následující zobrazení • (f ◦ g)(x), • (g ◦ f )(x), • (f ◦ g)-1(x), • (f-1 ◦ g-1)(x). [6x + 1] [6x - ^ ] [ XěÍ ] [ 3x+19 ] [ 18 ] 5.7. Popište nejaké usporádání přirozených Císel, které není dobré. 5.8. Uvažujme relaci a -< b <í=> a6 < 6a. Ukažte, že jde o ostré uspořádání (tranzitivní, asymetrické) na N, které není úplné. Naleznete minimální prvek, jestli existuje. [1] 6 Vektory a matice 6.1. Zjistete, zda jsou dané vektory lineárne nezávislé • u = (1, 2,1), v = (2, 3,1), w = (1, 3, 2), • u = (1, 2, 3), v = (0,1,1), w = (4, 3, -1), • U1 = (1,1, 2, 3), U2 = (0,1, 3,1), U3 = (2,1, 3,1), U4 = (-1,1, 2, 3). [LZ ] 6.2. Z vektoru V1 = (1,0,0,1), V2 = (1,1,1,1), V3 = (2,1, 2,3), V4 = (1,0,1,0), V5 = (2,3,1, 2) vyberte nejvetší možnou lineárne nezávislou podmnožinu vektoru. [napr. v1, v2, v3, v4] 6.3. Vyberte z následujících vektoru co nejvíce lineárne nezávislých u1 = (1,2, -3)T, u2 = (2, -1,3)T, u3 = (-3,4, -9)T, u4 = (6, 0,1)T, u5 = (4,1, -2)T. [např. u1, u2, u4] 7 MBlOl - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.4. Jsou uvedené prvky lineárneř nezávislé? • x2 + x + 3 = 0, x + 1=0, 2x2 + 3x + 1 = 0, x2 - 3 = 0 v (R2[x], +, •), v (Mat2x2(Z), +, •), •v • 1+ x, 1 - x, 2 + x - x2 v (R2[x], +, •). [LZ ] [LZ ] [LNZ ] 6.5. Určete konstantu k tak, aby polynomy kx2 + x + 2, -2x2 + kx + 3 a x2 + 2x + k byly lineárne závislé v prostoru (R2[x], +, •). 6.6. Oveřte, zda vektor u = (7, 2, -2)T náleží do množiny M. [ki = -1, k2,3 = 1±v 21 2 M = Span((1,0, -1)T, (2,1,0)T, (0,1, 2)T, (1,1,1)T, (5, 2, -1)T) 6.7. Seskládejte matiče tak, aby šly vynásobit, a vynásobte je A = 121 1 3 0 B = 12 1 5 0 2 0 1 1 3 2 1 C = 13 11 2 4 02 [nenáleží] [B • C • A] 6.8. Vypočřteřte inverzní matiče k matičím 1 1 2 1 0 0 A = |1 3 2 210 B= 2 1 2 2 0 1, 130 C = | 1 3 1 124 6.9. Rozhodnete, zda existují inverzní matiče k následujíčím matičím, jestliže ano, pak tyto inverze vypočtete 101 A = | 3 3 4 223 101 B = | 3 2 4 223 [ano, ne] 6.10. Určete hodnost matice A= 12 21 111 6.11. Spočítejte determinant matice '1 3 -V A = 1 5 0 1 I , B = ,6 3 2 B= 4 6 1 2 2 0 3 1 0 1 3 2I 5 0 2 -1 (5 7) C= 421 C = | 3 2 1 221 [h(A) = 2,h(B) = 2, h(C) = 2] /3 1 8 2\ 10 6 7 1 \3 2 7 1/ 3 4 -1 D = | 5 9 1 2 4 4 ] 8 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.12. Vyřešte rovnice -1 ■ x = 3, x + 1 2x = -7, 1 - x -1 -4 -1 1 - x 1 -1 -1 2-x = 0. [x = 1; x = -1 ± a/3í = 2(cos ^f- ± i sin ); xi = -1, x2 = 3, x3 = 2] 6.13. UrCete matici adjungovanou k matici 2 1 2> A = | 1 0 3 121 B = (a b\ \c d) -6 3 3 [A* = | -4 4 -4 |, B* = 2 -5 -1, y-c a J 6.14. Pomocí Gaussovy eliminaCní metody naleznete řešení soustavy rovnic 2xi + x2 - x3 - x4 = -3 xi - x2 + x3 - x4 = -2 3xi + 3x3 - 5x4 = -8 -2xi - x2 + 4x3 - 2x4 = 0 [x = (-1 + b,b, 3b, 3b),b G R] 6.15. Pomocí Cramerova pravidla vypocítejte řešení soustavy rovnic 2x + 3y - z = 4 6.16. Řešte soustavy rovnic 6.17. Řešte soustavu rovnic 3 0 24 14 3x - y + z= 1 2x - y - z= 2 -1 \ (2 3 -2 0 (3 2 -1 2y 1 1 -1 /2 - 1 1 -1 1\ 2 - 1 0 -3 2 3 0 -1 1 -3 2 2 -2 5 -6/ 0 -1 4 -2 41 [x = 4 y = - z = -—] 6.18. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech c a d, proved'te diskuzi řešení 1c 1c 1 .1 c + 1 c -c - 3 2 -3 -5 d1 x 9 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 6.19. Naleznete LU-rozklad matice A = 10 42 6 1 1 100 210 [L = 12 1 0 1, U = I 0 2 2 ,3 -1 1, 0 0 1, 6.20. A ješteř jeden LU-rozklad: 6 M = I 9 3 —2 0 —1 1 75 7 Vektorové prostory a lineární zobrazení 7.1. Oveřte axiomy vektorového prostoru u následujících množin (s uvedenými operacemi): • V = C, (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i, a • (a + bi) = a • a + (a • b)i, • V = Mat2x3, scítání matic, násobení matic reálným císlem, • V = R+, x 0 y := ^, a © x := xa, Vx, y G V, Va G R, • V = {(x, y)}, (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), k • (x, y) = (2kx, 2ky), • V = {(1, z)}, (1, z) + (1, w) = (1, z + w), k • (1, z) = (1, kz), 'a ť 21 b • V = C2[x] = {zo + zix + z2x2, zo, zi, z2 G C} nad C, a0 • V C Mat2x2(R), matice typu V= bc scřítání matic, násobení matic reálným cříslem, , a, b, c G R , scřítání matic, násobení matic reálným cříslem. 7.2. Rozhodneřte, zda následující množiny s operací + tvořrí vektorový prostor nad teřlesem reálných cřísel • ctvercové matice rádu n x n nad R, [ano, dim = n2] • symetrické matice řádu n x n nad R, [ano, dim = n(n+1) ] • invertibilní matice rřádu n x n nad R, [ne] • antisymetrické matice rřádu n x n nad R. Jestliže ano, urcřete jejich dimenzi a popište neřjakou jejich bázi. [ano, dim = (n— 1)n 7.3. Rozhodnete, zda polynomy nad reálnými císly stupne nejvýše k tvorí vektorový prostor. Jestliže ano, napište neřjakou jeho bázi a urcřete jeho dimenzi. [ano, dim = k + 1] 7.4. Je to podprostor (vektorového) prostoru (R2, +, •)? a) prřímka x = y, b) prřímka y = x + 1 , c) první kvadrant (vcřetneř hranicřních polopřrímek). [ano] [ne] [ne] 7.5. Napište nejakou bázi vektorových prostoru V1 = R3, V2 = Mat2x2(R), V3 = P2 - polynomy stupneř nejvýše 2. ] 10 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 7.6. Určete bázi a dimenzi vektorového prostoru komplexních čísel a) (C, +, R, •), b) (C, +, C, •) [a) B = {1, i}, dim = 2, b) B = {1}, dim = 1] 7.7. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly - sčítání vektoru je sčítání komplexních čísel. Ukažte, že čísla 1 + i a 1 - i tvorí bázi tohoto prostoru a napište souradnice čísla 5 - 2i v této bázi. [(3/2,7/2)] 7.8. Tvorivektory (1,1,1)T, (1, 2,0)T a (1, 3,1)T bázi R2? [ano] 7.9. Doplnřte množinu M tak, aby byla bází prostoru V : • M = {(-1,1,0,0)T, (0, -1,1,0)T, (0,0, -1,1)T}, V = R4, [libovolný jeden z vektoru e1, e2, e2, e4] ^ 0 ^1 2) ^2 3)}, V=Mat2xf(R). [napr. (0 J)] M= 7.10. Je to lineární zobrazení? • L(u) = a • u, • L(u) = a • u +1, [ano] [ne] L(u1, u2) = /cos p - sin p\ /uA ysin ^ cos tp ) \yu2J [ano] 7.11. Overte, že zobrazení L je lineárním zobrazením, a napište matici, kterou je reprezentováno. u1 + 3u2 + 2u2 L(u) = | 5u1 + u2 + 6u2 2u2 + u2 7.12. Určete jádro (Ker f) a obraz (Im f) zobrazení f daného maticí 123 200 7.13. Určete souradnice vektoru (2, 3, -1)T = we v bázi u = 1,1)T, (1, 2, 0)T, (1, 3,1)T). [w„ = (2, 3,-1)T] 1 1 1 7.14. Najdete matici přechodu od báze e =(1,x,x2) kbázi u = (1,x + 1,1 - x2). [|0 1 0 ^0 0 -1, 7.15. Najdete matici přechodu v R2 od báze u = ((1,2)T, (-2,3)^ k bázi v = ((3,1)T, (2,1)T). ' 3 -8^ [ 5 11 ] 11 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 7.16. Napište matici A reprezentující lineární zobrazení L: R2 — R3, L(u) = 2uivi - (ui + u2)v2,kde u = (ui,U2)T a vi = (1,2, -1)T, v2 = (1,0,1)T, t 1 -ľ • ve standardních bázích R2 a R3, [I 4 0 -3 -1 4/3 -2/3 • vbázích a =((1,(0,a p =((2,1,(1, 2, (0,0,. [( 8/3 1/3 0 0 7.17. Napište matici zobrazení f: R3 — R2, f (xi,x2,x3) = (xi + 2x2 - 3x3,2xi) v bázích u = ((1, 2, 0)T, (-2,1, 0)T, (3,1,v = ((2,(0, 2)T). [A^,v_ = (-^ -2 4)] 7.18. Matice zobrazeníf: R3 — R3 v bázi a = 0,1)T, (0,1,1)T, (1,1,0)T) je tvaru /-1 0 -1> Aa,a = ( 0 1 1 V-1 1 0, 210 Urcete tvar matice zobrazení ve standardní bázi. [Ae,e = ( -1 2 0 110 7.19. Je dána matice zobrazení ASje, urcete matici tohoto zobrazení v bázi v. A" = G -í 0), v = ttÍ),t-í),tf -1/4 2 -3/4 5/4 0 7/4 3/4 -2 9/4 7.20. Napište matici zobrazení: • zrcadlení podle roviny procházející pocřátkem a kolmé na vektor ( 0 ), • otocení o úhel p kolem osy procházející pocátkem se smerovým vektorem (0, -1,1). 100 7.21. Urcete, jaké lineární zobrazení zadává matice | 2 1 2 |. 2 0 1, 7.22. Najdete matice Q takové, že Q2 = -~ a- f) Jaké zobrazení matice Q2 reprezentuje? [Q2 = Äot6o°, Qi = Äot30°, Q2 = Äot2i0°] 12 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 8 Vektorové prostory se skalárním součinem 8.1. Jsoů následůjící vektorové podprostory prostorů R4 kolmé? U = Span((1, 2, 3,0)T, (1, -1,0, 0)T), V = Span((2, 2, -2, 5)T). [ano] 8.2. Jsoů matice následůjící matice ortogonální? '1 -1 0 A = , cosa sin a, b = ,1 1 0| , C = - sin a cos a / l 0 0 1 i___L__L /š V2 Ve 1_ J_ i fš V2 Ve \Vš 0 Ve [A: ano, B: ne, C: ano] 8.3. Urcete císla a, b tak, aby matice A byla ortogonální f a f A = , f b f 4 7 4 9 9 9/ 8.4. Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizacního procesů ůrcete ortonormální bázi prostorů V = ((1,1,1,1), (1, 2,1, 0), (1,1, 2, 3), (0,1, 0,0)). [B = {2(1,1,1,1), ^(0,1, 0, -1), ^(-3,1,1,1), V(0,1, -2,1)}] 8.5. Urcete ortogonální bázi prostorů R3 pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizacního procesů z báze u = ((1, 2,1)T, (0,1,1)T, (2, -1,. [vi = (1, 2,1)T, V2 = (-1/2,0,1/2)T, vš = (4/3, -4/3,4/3)T] 8.6. Urcete projekci vektorů u = (3,1) do prostorů W = ((1,0)). [pW(u) = (3,0)] 8.7. Urcete projekci vektorů v = (1, -1, 2,1)T na prostor W = Span((1, 2,1,0)T, (-1, 0,1,0)T, (1, -1,1, 0)T>. [pw(v) = (1, -1, 2, 0)T] 8.8. Urcete kolmý průmet vektorů (0,0, 7) do podprostorů generovaného vektory (1,2,1), (-2,1,1). [p =(-1, 5/3,1/3)] 8.9. Najdete nejakoů ortonormální bázi vektorového podprostorů V v R3 daného rovnicí 2x - 3y + z = 0. [napr. vi = ^(1,0, -2),v2 = ^(6, 5, 3)] 8.10. Urcete cos y>, kde 92 je odchylka dvoů soůsedních sten pravidelného osmistenů. [cos 9 = 1/3] 8.11. Urcete odchylků rovin a a g. a: [1,0, 2]+ ti(1, -1,1)+ t2(0,1, -2), g: [3, 3, 3] + -2,0) + ^(0,1,1). [9 = n/3] 13 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 8.12. Zjistete, zda body [0,2,1], [-1,2,0], [-2,5, 2] a [0, 5,4] leží v jedné rovine. [ano] 8.13. Zjistete, zda bod [2,1,0] ležíuvnitř konvexního obalu bodu [0,2,1], [1,0,1], [3, -2, -1] a [-1,0,1]. [] 8.14. Je dán rovnobežník [0,0,1], [2,1,1], [3, 3,1], [1,2,1]. Urcete bod X = [xi, x2, x3] na přímce p: [0,0,1] + t(1,1,1) tak, aby rovnobežnosten urcený daným rovnobežníkem a bodem X mel objem roven 1 . [] 8.15. Je dána krychle (standardmoznacení) ABCDA'B'C'D'. Urcete odchylku vektoru AB' a AD'. 9 Vlastní císla a vektory 9.1. Spocítejte vlastní císla a urcete príslušné vlastní vektory matic A= (3 4)- B=G [A: Ai,2 50 C = 16 7 5 , D = 1 1 . ii^H, B: Ai = 5, A2 = -16, C: Aij2 = 5, D: Aij2 = 1 ± i] 9.2. Spocřítejte vlastní cřísla a urcřete přríslušné vlastní vektory matic : _2 _l\ A = 1 —- I — - 1 , B = 1 — I —I —I 1 , C = 5 i i 23 i i 3i 6 3 6 2 2 "3 3 5 -2 -V 1 4 1 -1 -2 5 [A: Ai = 3, ui = (1,1,1), A2,3 = 2, u = (-2,1,0), «3 = (-1,0,1)] [B: Ai,2 = = (-2,1,0),«2 = (-1,0,1),A3 = -1,«3 = (1, 2,1)] [C: Ai = 2, ui = (1,1,1), A2,3 = 6, «2 = (-1,0,1), «3 = (-2,1,0)] 9.3. Spocřítejte vlastní cřísla matic, urcřete jejich algebraickou a geometrickou násobnost '2 1 -1> A= | 0 1 2 0 0 1 13 -28 3 4 -8 1 -1 41 [A: Ai C= f 3 1 0 0 -4 -1 0 0 7 1 2 1| -17 -6 -1 0 [B: A-,2,3 = 2, an = 3, gn = 1] [C: A-,2,3,4 = 1, an = 4, gn = 2] 9.4. Spocítejte vlastní císla matice A. Pak spocítejte vlastní císla matice A-i a porovnejte je s vlastními cřísly matice A. A= (2 -?) [Ai,2 = ±Ía/5,M1,2 = ± -75 ] 9.5. Najdete vlastní císla a vlastní vektory matice 9 3 l _ ,4 _ 4 i li l 4 4 4 0 0 2 [A- = 3, u- = (-1,1, 0), A2,3 = 2, «2 = (1, 0,1), «3 = (3,1, 0)] 14 MB101 - Matematika I P. Hasil, K. Vopatová 9.6. Najdete vlastní císla a vlastní vektory matice A = 1 -1 V -1 1 1 -1 -1 3/ Jaký tvar bude mít matice v bázi tvorené vlastními vektory matice A? /2 0 0^ [Ai,2 =2,ui = (-1,1,0),u2 = (1, 0,1),As = 1,u3 = (1,1,1), Au = |0 2 0 \0 0 1, 9.7. Diagonalizujte matici A. 210 A = | 0 1 1 003 200 [A = | 0 1 0 003 9.8. Napište příklad dvou matic, které mají stejná vlastní císla a stejnou množinu vlastních vektorU, a presto jsou ruzné. 10 Modely a procesy 10.1. Uvažujme Leslieho model rustu pro populaci krys, které jsou rozdelený do tří vekových skupin: do jednoho roku, od jednoho roku do dvou let a od dvou do trří let. Přredpokládejme, že se žádná krysa nedožívá více než tří let. Prumerná porodnost v jednotlivých vekových skupinách připadající na jednu krysu je následující: v první skupineř je to nula, ve druhé i trřetí skupineř dveř krysy. Krysy, které se dožijí jednoho roku, umírají až po druhém roce života (tj. úmrtnost ve druhé skupine je nulová). Urcete úmrtnost v první skupine, víte-li, že daná populace stagnuje. [1/4] 10.2. Uvažujme populaci nezmaru, kteří se dožívají trí mesídi. Každý nezmar splodí mezi prvním a druhým mesícem dva malé nezmárky, stejne tak mezi druhým a třetím mesícem života. Mladí nezmaři (do stán jednoho mesíce) neplodí. Polovina nezmaru po dovršení druhého mesíce umírá, po dovršení třetího mesíce umírají všichni. Napište Leslieho matici nezmařího modelu a urcete na jaké hodnote se ustálí pomer mezi vekovými skupinami a na jeké hodnote se ustálí prMstek populace. [3 + a/Š : 1 + a/Š : 1, 4= 0.62] 10.3. Uvažujme populaci lososích samicek, kterou lze rozclenit na tri vekové skupiny. Z první skupiny prežije 5 %, z druhé skupiny přežije 10 %. Každá samicka tretí vekové skupiny snese 200 jiker. Jak se tato populace chová? [stagnuje] 10.4. Mejme dán zjednodušený model populace sýkory koiíadry (lat. Parus major). Populace je rozdelena do cřtyřr veřkových skupin: vajícřko, mládeř v hnízdeř, létající mládeř a dospeřlý jedinec. Je známo, že vajícřek bývá znicena polovina a mlád'at uhyne (v obou skupinách) ctvrtina. Pár dospelých sýkorek snese 16 vají-cek. Napište matici modelu, urcete přírustek populace a pomer mezi vekovými skupinami. [přírustek 20% za období, pomer 66 : 27 : 17 : 10] 15 MB101 -MatematikaI P. Hasil, K. Vopatová 10.5. Mejme dánu populaci ve meste a na jeho předmestí. Predpokládá se, že se každý rok 40% obyvatel mesta prestehuje na predmestí a naopak 30% obyvatel se z predmestí přestehuje do mesta. Jak se ustálí pocet obyvatel ve meste a na predmestí? [mesto: 43%, předmestí: 57%] 10.6. Zkoumáme "svéhlavou" výrobní linku. Pozorováním jsme zjistili, že pokud je linka v daném období v provozu, tak v následujícím období bude v provozu v 50 % prípadu a pujde do opravy v 50 % prípadu. Pokud je linka v oprave, pak v následujícím období zustane v oprave v 75 % případu, zpet do provozu pujde jen v 25 % prípadu. Jaká je pravdepodobnost, že linka bude v provozu? [33%] 10.7. Zeme Oz je velebena pro mnoho vecí, ale nikoli pro dobré pocasí. Nikdy nenastanou dva slunečné dny za sebou. Když je slunecno, muže druhý den jak snežit tak pršet. Když prší nebo sneží, bude druhý den (se stejnou pravdeřpodobností) stejneř. Pokud to vypadá, že se po dešti, resp. sneřhu zmeřní pocřasí, jen v polovine prípadu bude slunecno. S jakou pravdepodobností bývá v zemi Oz slunecné pocasí? [0.2] 11 Analytická geometrie 11.1. Urcete prunik podprostoru U = ((1,1,1), (-2,3,0)) a V = ((1, -1,5), (3,2,-1)) [U n V = ((15, 5,11))] 11.2. Najdete prícku mimobežekp: [1,1,1] +1 • (2,1,0), q: [2,2,0] + s • (1,1,1), která prochází bodem M =[1, 0,0]. [[1,0,0]+1(4, 5, 3)] 11.3. Najdete osu (tj. přícku, která je kolmá na obe mimobežky) mimobežek p: [-3, -1,1] +1 • (4,2,0), q: [3, 3,1] + s • (-1,-1, -1). [[3, 2,1] + u(-1, 2,-1)] 11.4. Urcete cos y, kde y je odchylka přímek p, q daných v R3 obecnými rovnicemi p: - 2x + y + z = 1, x + 3y - 4z = 5, q: x - y = -2, z =6. [cos y = $] 11.5. Urcete osu mimobežek p: [3,0,3]+1(0,1,2) a q: [0, -1, -2] + s(1,2, 3). [[3,1, 5]+ t(-1, 2,-1)] 11.6. Urcete prunik prímky p s rovinou a p: [0,0, 7]+-3, 5), a: [0, 5, 3] + s1(1, 2,1) + s2(-2,1,1). [P = [-1, 3, 2]] 11.7. Parametricky vyjádřete prunik rovin a a t v R3 a :2x + 3y - z + 1 = 0, t : x - 2y + 5 = 0. [[-17/7, 9/7,0]+1(2,1, 7)] 16