OBECNÉ VEKTOROVÉ PROSTORY SE SKALÁRNÍM
SOUČINEM
(Na úvod bych řekla, buďto celou definici skalárního součinu nebo jenom
že je to zobrazení s určitými vlastnostmi a je jich mnoho ruzných, protože
definici mají znát z přednášky, ponechám rozhodnutí na vás.)
(V, +, ·) vektorový prostor. Zobrazení −, − : V ×V → R nazýváme skalární
součin na V pokud toto zobrazení je:
• pozitivně definitní – u, u ≥ 0 a u, u = 0 ⇔ u = 0
• symetrické – u, v = v, u
• lineární v první složce – a · u + b · v, w = a u, w + b v, w
Každý skalární součin nám definuje normu jako u = u, u
Příklady nejčastěji používaných skalárních součinu a norem:
• klasický v Rn, norma sa nazýva Euklidovská a značit budeme u 2
• pro matice typu m × n A, B =(suma přes všechny i,j) aijbij, určuje
tzv. Frobeniovu normu A F = A, A
Vektory nazveme ortogonální (kolmé) pokud u, v = 0, množina vektoru
je ortogonální (kolmá) pokud každá dvojice (ruzných vektoru) je ortogonální.
(Poznámka: Je jasné, že ortogonální množina je tvořena lineárně
nezávislými vektory – dukaz ve skriptech.)
Příklad Určete zda podprostory matic typu 2 × 2 jsou na sebe kolmé
V = Span A =
1 2
3 0
, B =
1 −1
0 0
W = Span C =
2 2
−2 5
Řešení: Stejně jako v minulé kapitole, stačí určit zda jsou na sebe kolmé
vektory báze, tedy zda A je kolmé na C a B je kolmé na C.
A, C = 2 + 4 − 6 + 0 = 0
B, C = 2 − 2 + 0 + 0 = 0
Podprostory jsou na sebe kolmé.
Množina se nazývá ortonormální, pokud je ortogonální a u = 1 pro
každý vektor množiny.
Čtvercová matice se nazývá ortogonální, pokud její sloupce tvoří ortonormální
množinu.
Příklad Určete zda matice A je ortogonální.
1
A =



1√
3
− 1√
2
− 1√
6
1√
3
1√
2
− 1√
6
1√
3
0 2√
6



Řešení:
A = v1 v2 v3
v1, v2 = 1√
3
(− 1√
2
)+ 1√
3
1√
2
+ 1√
3
0 = 0 – podobně spočítáme zvyšné dvojice,
které jsou taky kolmé.
v1 = ( 1√
3
)2 + ( 1√
3
)2 + ( 1√
3
)2 = 1 – opět stejným zpusobem dopočítejte
délky ostatních vektoru, které jsou tak rovny 1.
Matice je ortogonální.
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a W jeho podprostor,
α = (u1, . . . , uk) je nějaká ortonormální báze podprostoru W, v ∈ V .
Projekce vektoru v na podprostor W je vektor z podprostoru, který je
nejblíže zadanému vektoru v a je to vektor
p = a1u1 + . . . + akuk kde ai = v, ui .
(je zadán jednoznačně, nakreslete obrázek jak to vypadá v R3)
Příklad Najděte kolmou projekci vektoru v = (1, 2, 3) na podprostor W =
Span (1, 0, 0), (0, 1, 0)
Řešení: Ukažte, že (1, 0, 0), (0, 1, 0) je opravdu ortonormální báze, pak
p = (1, 2, 3), (1, 0, 0) · (1, 0, 0) + (1, 2, 3), (0, 1, 0) · (0, 1, 0) = (1, 2, 0)
Gram-Schmidtuv ortogonalizační proces – provádění libovolné báze na
ortogonální (pak ortonormální) bázi. (Umožní nám počítat projekce i bez
zadání ortonormální báze.)
Nechť V = Span u1, . . . , uk , kde tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Vytvoříme
ortogonální množinu v1, . . . , vk tak, že Span v1, . . . , vk = V .
• v1 = u1
• pro 1 < i ≤ k: vi = ui − ui,v1
v1,v1
· v1 − . . . − ui,vi−1
vi−1,vi−1
· vi−1
• všimněte si, že vektory vytváříme tak, aby byly kolmé na všechny
předcházející – pomocí odečítání kolmých projekcí vektoru ui na podprostory
generované jednotlivými vektory
• normalizace – každý vektor podělíme jeho délkou wi = vi
vi
Příklad Převeďte bázi α = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} prostoru R3 na
bázi ortonormální.
Řešení: Budeme postupovat podle Gram-Schmidtova procesu:
2
• v1 = (0, 1, 1)
• v2 = (1, 0, 1)− (1,0,1),(0,1,1)
(0,1,1),(0,1,1) ·(0, 1, 1) = (1, 0, 1)− 1
2 ·(0, 1, 1) = (1, −1
2, 1
2)
• v3 = (1, 1, 0) − (1,1,0),(0,1,1)
(0,1,1),(0,1,1) · (0, 1, 1) −
(1,1,0),(1,−1
2
, 1
2
)
(1,−1
2
, 1
2
),(1,−1
2
, 1
2
)
· (1, −1
2, 1
2) =
(1, 1, 0) − 1
2 · (0, 1, 1) − 1
3 · (1, −1
2, 1
2) = (2
3, 2
3, −2
3)
Teď ještě provedeme normalizaci:
• w1 = (0,1,1)
√
1+1
= (0, 1√
2
, 1√
2
)
• w2 =
(1,−1
2
, 1
2
)
3
2
= ( 2
3, − 1
6, 1
6)
• w3 =
( 2
3
, 2
3
,−2
3
)
4
3
= (
√
3
3 ,
√
3
3 , −
√
3
3 )
Příklad Určete kolmý prumět vektoru u = (0, 0, 7) na podprostor W
generovaný vektory (1, 2, 1), (−2, 1, 1).
Řešení: Nejdřív najdeme ortonormální bázi podprostoru:
• v1 = (1, 2, 1)
• v2 = (−2, 1, 1) − 1
6 · (1, 2, 1) = (−13
6 , 4
6, 5
6)
• w1 = (1,2,1)
√
1+4+1
= ( 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
)
• w2 =
( −13
6
, 4
6
,5
6
)
210
62
= ( −13√
210
, 4√
210
, 5√
210
)
Teď vypočteme projekci:
p = 7√
6
· ( 1√
6
, 2√
6
, 1√
6
) + 35√
210
· ( −13√
210
, 4√
210
, 5√
210
) =
= (7
6, 14
6 , 7
6) + (−13
6 , 4
6, 5
6) = (−1, 3, 2)
Taky mužeme určit vzdálenost vektoru u od podprostoru W, a to je
přesně vzdálenost u od jeho projekce
v(u, W) = u − p = (1, −3, 5) =
√
35
. A taky úhel ϕ mezi vektorem u a podprostorem W jako
cos ϕ = p
u = 2
7
.
3