Pravděpodobnost
1. V krabici je 6 zelených a 11 žlutých míčků. Postupně vytáhneme náhodně
tři z nich. Víme, že první a třetí tažený míček je žlutý. Který způsob tahu
- s vracením nebo bez vracení - dá větší pravděpodobnost tohoto jevu?
S vracením: Počet všech trojic vytažených míčků je 173
. Protože na druhém
místě může být buď zelený - takových trojic je 11 · 6 · 11 - nebo žlutý,
takových trojic je 113
, je
P =
112
· 6 + 113
173
= 0, 418
Bez vracení:
P =
11 · 6 · 10 + 11 · 10 · 9
17 · 16 · 15
= 0, 404
2. 5 vadných tištěných spojů je zamícháno mezi 10 dobrých. Postupně je testujeme
dokud neobjevíme všechny dobré spoje. Jaká je pravděpodobnost,
že poslední z dobrých spojů bude objeven jako 12-tý v pořadí?
Všech uspořádání 15 spojů je 15!. Příznivá uspořádání vzniknou takto:
Na zadané 12. místo dáme jeden z 10 dobrých spojů. Za něj na místa
13, 14, 15 umístíme 3 vadné spoje. což lze 5 · 4 · 3 způsoby. Na zbylá místa
1-11 dáme zbylých 11 spojů jakkoliv, což lze 11! způsoby:
P =
10 · 5 · 4 · 3 · 11!
15!
= 0, 018
3. V krabici máme n bílých a m černých koulí. Postupně je taháme všechny
ven (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, že k-tá tažená koule je bílá?
Všech možností jak postupně vytáhnout m+n koulí z krabice je (m+n)!.
Příznivé uspořádání vznikne tak, že na k-té místo dáme bílou kouli, což
lze n způsoby. Ostatní koule doplníme libovolně (m + n − 1)! způsoby:
P =
n(m + n − 1)!
(m + n)!
=
n
m + n
.
1
4. Hodíme tři kostky. Jaká je pravděpodobnost, že padla alespoň jedna šestka,
víme-li, že padla navzájem různá čísla?
Položme A={alespoň jedna 6} a B={ navzájem různá čísla}. Pak
P(B) =
6 · 5 · 4
63
, P(A ∩ B) =
3 · 5 · 4
63
, takže
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
1
2
5. Předpokládáme, že narození chlapce nebo děvčete má stejnou pravděpodobnost.
Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se dvěma dětmi jsou oba
chlapci, víme-li:
a) alespoň jedno z dětí je chlapec.
Položíme A={oba chlapci} a B={alespoň jeden chlapec}. Pak
P(B) = 1 −
1
4
=
3
4
a P(A ∩ B) = P(A) =
1
4
.
Takže
P(A|B) =
1
4
3
4
=
1
3
b) první dítě je chlapec.
Zde bude jev B={první dítě je chlapec}. Pak
P(B) =
1
2
a P(A ∩ B) = P(A) =
1
4
.
Pak
P(A|B) =
1
2
6. Zásilka 24 produktů obsahuje 13 vadných. Je rozdělena do dvou stejných
skupin.
a) Jaká je pravděpodobnost, že jedna skupina obsahuje jen vadné pro-
dukty?
Počet všech rozdělení 24 produktů do dvou stejných skupin je 24
12 . Příznivá
rozdělení dostaneme, že buď do první nebo do druhé skupiny vybíráme
pouze z 13-ti vadných produktů, což je 2 13
12 . Takže
P =
2 13
12
24
12
2
b) Produkty jsou rozděleny tak, že jedna skupina se skládá ze samých
vadných výrobků. Náhodně zvolíme skupinu a produkt z ní. Je vadný.
Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený produkt z druhé skupiny
bude také vadný?
Budeme potřebovat následující jevy:
C={náhodně zvolená skupina obsahuje jen vadné produkty}
B={produkt zvolený z náhodně vybrané skupiny je vadný}
A={produkt zvolený z druhé skupiny je vadný}
V tomto označení máme zjistit P(A|B). Pro výpočet P(A ∩ B) a P(B)
musíme použít vzorec pro úplnou pravděpodobnost.
P(B) = P(B|C)P(C) + P(B| ˆC)P( ˆC) = 1 ·
1
2
+
1
12
·
1
2
=
13
24
P(A ∩ B) = P(A ∩ B|C)P(C) + P(A ∩ B| ˆC)P( ˆC) =
1
12
·
1
2
+
1
12
·
1
2
=
1
12
.
Odtud
P(A|B) =
2
13
7. Stroj má 2 komponenty A a B, které fungují nezávisle na sobě. Stroj pracuje,
jsou-li obě komponenty funkční. Víme, že A má spolehlivost 98% a
stroj má spolehlivost 95%. Jakou spolehlivost má komponenta B?
A={A je funkční} B={B je funkční}
P(A) = 0, 98 P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 0, 95
odtud
P(B) = 0, 97
8. Hráči házejí korunou, vyhrává ten, kterému dříve padne líc. Určete pravděpodobnost
výhry hráčů v případě, že hrají 2 nebo 3?
P(A1) =
1
2
+
1
2
·
1
2
·
1
2
+
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
+· · · =
1
2
·(1+
1
4
+
1
16
+. . . ) =
1
2
·
1
1 − 1
4
=
2
3
P(A2) =
1
3
P(A1) =
1
2
+
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
+· · · =
1
2
+
1
16
+
1
128
+· · · =
1
2
·(1+
1
8
+
1
64
+. . . ) =
1
2
·
1
1 − 1
8
=
4
7
3
P(A2) =
1
2
·
1
2
+
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
·
1
2
+· · · =
1
4
+
1
32
+· · · =
1
4
·(1+
1
8
+. . . ) =
1
4
·
1
1 − 1
8
=
2
7
P(A3) =
1
7
9. Vybíráme ze 7 mužů a 5 žen 3. Jaká je pravděpodobnost, že ve výběru:
• nebude žádná žena
|A| =
7
3
=
7!
4! · 3!
=
7 · 6 · 5
6
= 35 |ω| =
12
3
=
12!
9! · 3!
= 220
P(A) =
35
220
= 0, 159
• budou právě 2 ženy
P(A) =
7
1 · 5
2
220
=
7 · 5·4
2
220
= 0, 318
• budou nejvýše 2:
P(A) =
7
3 + 7
2 · 5
1 + 7
1 · 5
2
220
= 0, 955
• bude více mužů než žen:
P(A) =
7
3 + 7
2 · 5
1
220
= 0, 636
10. Ve třídě je 32 žáků, z toho 10 se na hodinu nepřipravilo. S jakou pravděpodobností
budou aspoň 2 ze 3 zkoušených žáků připraveni?
P(A) =
22
2 · 10
1 + 22
3
32
3
= 0, 77621
4