Relace a zobrazení - příklady

Příklad 1.

   Na množině X = {1,2,3,4,5,6,7} je dána relace R = { (x, y) | x, y X, x
   dělí y }. Zapište R výčtem prvků. Určete její definiční obor a obor
   hodnot. Nalezněte inverzní relaci.

   Řešení:
   Vytvoříme si relační tabulku.

      1  2  3 4 5 6 7
   1  1  0  0 0 0 0 0
   2  1  1  0 0 0 0 0
   3  1  0  1 0 0 0 0
   4  1  1  0 1 0 0 0
   5  1  0  0 0 1 0 0
   6  1  1  1 0 0 1 0
   7  1  0  0 0 0 0 1

   Pomocí tabulky snadno zapíšeme R výčtem prvků.
   R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2), (2,
   4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) }
   Definiční obor Dom R = X = {1,2,3,4,5,6,7}
   Obor hodnot Im R = X = {1,2,3,4,5,6,7}
   Inverzní relace R^-1 = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1),
   (7, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),
   (7, 7) }

Příklad 2.

   Nechť R[1] = { (1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8) }, R[2] = {
   (2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u) }. Zapište výčtem prvků relace
   R^-1[1], R^-1[2], R[2] ° R[1], (R[2] ° R[1])^-1, R^-1[1] ° R^-1[2].

   Řešení:
   R^-1[1] = { (2, 1), (6, 1), (4, 2), (4, 3), (6, 3), (8, 3) }
   R^-1[2] = { (u, 2), (s, 4), (t, 4), (t, 6), (u, 8) }
   R[2] ° R[1] = { (1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
   (R[2] ° R[1])^-1 = R^-1[1] ° R^-1[2] = { (u, 1), (s, 2), (s, 3), (t, 2),
   (t, 3), (u, 3), (t, 1) }

Příklad 3.

   Nechť f(x) = sin x, g(x) = ln x, h(x) = 2x. Stanovte definiční obor a obor
   hodnot funkce g ° f ° h. Určete (g ° f ° h)(pí / 4).

   Řešení:
   g ° f ° h = ln (sin2x).
   Určíme Dom a Im jednotlivých funkcí:
   Dom h = R, Im h = R
   Dom f = R, Im f = <-1, 1>
   Dom g = (0, nekonečno), Im g = R
   Je třeba si uvědomit, že výstup vnitřní funkce se stává vstupem funkce
   vnější. Funkce g příjmá kladná reálná čísla, ale na výstupu funkce f je
   interval <-1, 1>. Im f "průnik" Dom g je interval (0, 1>, tedy nový
   definiční obor vnější funkce g. Musíme zjistit, pro která x nabývá funkce
   f hodnot z intervalu (0, 1>. Protože ale Dom f = Im h = Dom h = R, můžeme
   tak činit již pro složenou funkci f ° h, tedy pro sin2x.

   Z grafu funkce sin2x je vidět, že tato funkce nabývá hodnot (0, 1> pro
   všechna x ze sjednocení otevřených intervalů(k*pí, k*pí + pí/2), kde k Z..
   Toto sjednocení intervalů je také definičním oborem složené funkce g ° f °
   h. Pro zjištění oboru hodnot si stačíuvědomit, která x jsou vstupem funkce
   g. To jsme zjistili již při určování definičního oboru složené funkce. Je
   jím interval (0, 1>.

   Z grafu přirozeného logaritmu, tedy funkce g, je názorně vidět, že pro x
   (0, 1> nabývá funkce g hodnot v intervalu (-nekonečno, 0> a tento interval
   je také oborem hodnot složené funkce g ° f ° h.

   Zbývá už jen určit funkční hodnotu pro x = pí/4.
   pí/4 Dom (g ° f ° h) => (g ° f ° h)(pí/4) = ln (sin pí/2) = ln 1 = 0.
   Výsledky
   Dom (g ° f ° h) = všechna x ze sjednocení otevřených intervalů(k*pí, k*pí
   + pí/2), kde k Z.
   Im (g ° f ° h) = (-nekonečno, 0>
   (g ° f ° h)(pí/4) = 0