Vektorové prostory, lineární zobrazení
V tomto dokumentu je shrnuta základní problematika vektorových prostorů
a lineárních zobrazení. Potřebná teorie je psána zelenou barvou, vysvětlující komentáře
modrou barvou a samotné výpočty jsou klasicky černou. Snad vám to
pomůže trochu se zorientovat.
Vektorové prostory
Nechť V je množina, na které jsou definovány operace sčítání a násobení reálným
číslem. Pak V je vektorový prostor, pokud pro u, v, w ∈ V, a, b ∈ R platí:
1. u + v = v + u
2. u + (v + w) = (u + v) + w
3. ∃0 ∈ V : 0 + u = u
4. ∃ − u ∈ V : (−u) + u = 0
5. a · (u + v) = a · u + a · v
6. (a + b) · u = a · u + b · u
7. (a · b) · u = a · (b · u)
8. 1 · u = u
1
Příklad 1 Zjistěte, zda množina R+
= {x ∈ R, x > 0} s operacemi x⊕y = x·y,
a x = xa
pro x, y ∈ R+
, a ∈ R tvoří vektorový prostor.
Je třeba pro dané operace ověřit všechny axiomy vektorového prostoru:
1. x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x
2. (x ⊕ y) ⊕ z = (x · y) · z = x · (y · z) = x ⊕ (y ⊕ z)
3. neutrálním prvkem (= nulový vektor) pro ⊕ je 1: x ⊕ 1 = x · 1 = x
4. opačným prvkem (= opačný vektor) pro ⊕ je 1
x : x ⊕ 1
x = x · 1
x = 1
5. a (x ⊕ y) = (x · y)a
= xa
· ya
= (a x) ⊕ (a y)
6. (a + b) x = x(a+b)
= xa
· xb
= (a x) ⊕ (b y)
7. (a · b) x = xa·b
= (xb
)a
= a (b x)
8. 1 x = x1
= x
⇒ (R+
, ⊕, ) je vektorový prostor
Příklad 2 Zjistěte, zda množina V = {(x, y) ∈ R2
, x, y ∈ R} s operacemi
(x, y) ⊕ (x , y ) = (x + x , y + y ), k ⊕ (x, y) = (2kx, 2ky) tvoří vektorový prostor.
Axiomy 1 − 6 platí
7. (a · b) (x, y) = (2abx, 2aby) = a (b (x, y)) = (4abx, 4aby)
8. 1 (x, y) = (2x, 2y) = (x, y)
⇒ V netvoří vektorový prostor
2
Vektorové podprostory
Nechť (V, +, ·) je vektorový prostor. Množina W ⊆ V se nazývá (lineární)
vektorový podprostor prostoru V , jestliže pro každé u, v ∈ W a a ∈ R platí:
1. W = ∅
2. u + v ∈ W
3. a · u ∈ W
Příklad 3 Určete, zda množina M = {(x, y) ∈ R2
, x ≥ 0, y ≥ 0} tvoří vektorový
podprostor v R2
.
Opět ověříme potřebné axiomy:
1. M = ∅
2. pokud (x, y) a (u, v) ∈ M, pak i (x, y) + (u, v) ∈ M, neboť x ≥ 0, y ≥
0, u ≥ 0, v ≥ 0 ⇒ x + u ≥ 0, y + v ≥ 0
3. obecně neplatí, neboť pro a < 0 je (ax, ay) < 0
⇒ M není vektorový podprostor v R2
Příklad 4 Určete, zda množina M = {(a, b, c) ∈ R3
, b = a + c} tvoří vektorový
podprostor v R3
.
1. M = ∅
2. (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f) ∈ M, neboť b = a + c, e = d + f ⇒
b + e = a + d + c + f
3. t · (a, b, c) = (ta, tb, tc) ∈ M, neboť b = a + c ⇒ t · b = t · a + t · c
⇒ M je vektorový podprostor prostoru R3
3
Báze a dimenze
Vektory u1, u2, . . . , uk tvoří bázi vektorového prostoru V , pokud jsou lineárně
nezávislé a generují celý prostor V
Dimenze vektorového prostoru V (dimV)= počet vektorů v bázi.
Lineární obal množiny M ⊆ V = průnik všech podprostorů prostoru V obsahujících
množinu M (zn. < M >)
M je množina generátorů prostoru V , jestliže < M >= V
Příklad 5 Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M
ve vektorovém prostoru V = R4
.
M = {(1, 2, 3, 4), (−2, −3, −4, −5), (3, 4, 5, 6), (−4, −5, −6, −7), (5, 6, 7, 8)}
Abychom získali bázi, musíme z množiny M vybrat podmnožinu nezávislých
vektorů. Z vektorů tedy sestavíme matici (každý sloupec reprezentuje jeden
vektor) a pomocí GEM ji upravíme na schodovitý tvar:




1 −2 3 −4 5
2 −3 4 −5 6
3 −4 5 −6 7
4 −5 6 −7 8



∼




1 −2 3 −4 5
0 1 −2 3 −4
0 2 −4 6 −8
0 3 −6 9 −12



∼




1 −2 3 −4 5
0 1 −2 3 −4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0




Vidíme, že schodovitý tvar tvoří pouze první dva vektory. Báze dané množiny je
tedy tvořena pouze vektory (1, 2, 3, 4) a (−2, −3, −4, −5), ostatní lze jednoduše
získat jako jejich lineární kombinaci.
αM = {(1, 2, 3, 4), (−2, −3, −4, −5)}
dim < M >= 2
Příklad 6 Doplňte množinu M = {(−1, 1, 0, 0), (0, −1, 1, 0), (0, 0, −1, 1)} na
bázi prostoru R4
.
Vektory opět napíšeme jako sloupce matice, kterou rozšíříme ještě o vektory
standartní báze prostoru R4
. Matici budeme upravovat na schodovitý tvar a z
vektorů standartní báze vybereme ten, jehož doplněním ke třem zadaným vektorům
a úpravou takto vzniklé matice získáme úplný schodovitý tvar (žádné
řádky nejsou lineárně závislé).




−1 0 0 1 0 0 0
1 −1 0 0 1 0 0
0 1 −1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1



 ∼




−1 0 0 1 0 0 0
0 −1 0 1 1 0 0
0 0 −1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1




Vektory množiny M jsou LN a doplněním kteréhokoliv z vektorů standartní
báze získáme bázi R4
.
4
Příklad 7 Který z vektorů u1, u2, u3, u4 doplňuje množinu α na bázi prostoru
R4
.
α = {(1, −2, 1, −1), (1, 0, −1, −1), (1, 1, −2, 0)}, u1 = (−1, 2, −1, 1), u2 = (3, −1, −2, −1), u3 =
(2, 1, 0, −2), u4 = (2, 1, −3, −2)
Budeme postupovat jako v předchozím příkladě. Místo vektorů standartní báze
rozšíříme matici o dané vektory u1, u2, u3, u4.




−1 1 1 −1 3 2 2
−2 0 1 2 −1 1 1
1 −1 −2 −1 −2 0 −3
−1 −1 0 1 −1 −2 −2



 ∼




1 1 1 −1 3 2 2
0 2 3 0 5 5 5
0 −2 −3 0 −5 −2 −5
0 0 1 0 2 0 0



 ∼




1 1 1 1 3 2 2
0 2 3 0 5 5 5
0 0 0 0 0 3 0
0 0 1 0 2 0 0



 ∼




1 1 1 1 3 2 2
0 2 3 0 5 5 5
0 0 1 0 2 0 0
0 0 0 0 0 3 0




Jediný vektor, který rozšiřuje danou bázi α na bázi R4
, je u3 (doplňuje matici
na úplný schodovitý tvar).
αR4 = α ∪ u3
5
Souřadnice vektoru v bázi
Nechť α = {u1, . . . , un} je báze prostoru V a nechť w ∈ V . Potom lze w jednoznačně
vyjádřit jako w =
n
i=1 xiui.
Pak sloupcový vektor [w]α = (x1, . . . xn)T
nazýváme souřadnicemi vektoru w v bázi α
Příklad 8 Najděte souřadnice vektoru v v bázi α vektorového prostoru V .
v = (2, 1, 1), α = {(2, 7, 3), (3, 9, 4), (1, 5, 3)}, V = R3
Zadané souřadnice vektoru jsou vlastně souřadnice ve standardní bázi prostoru
R3
. Souřadnice vektoru v bázi α získáme jako hodnoty koeficientů při zapsání
tohoto vektoru jako lineární kombinace vektorů z báze α.
v = a · α1 + b · α2 + c · α3
(2, 1, 1) = a · (2, 7, 3) + b · (3, 9, 4) + c · (1, 5, 3)
Abychom získali koeficienty a, b, c, musíme dané vektory srovnat po jednotlivých
složkách. V našem případě tedy získáme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých.
2 = 2a + 3b + c
1 = 7a + 9b + 5c
1 = 3a + 4b + 3c


2 3 1 2
7 9 5 1
3 4 3 1

 ∼


1 3/2 1/2 1
0 −3/2 3/2 −6
0 −1/2 3/2 −2

 ∼


1 3/2 1/2 1
0 1 −1 4
0 −1 3 −4

 ∼


1 3/2 1/2 1
0 1 −1 4
0 0 2 0


c=0, b=4-c=4, a=1-1/2c-3/2b=1-6=-5
[v]α = (−5, 4, 0)
6
Příklad 9 Najděte souřadnice vektoru v v bázi α vektorového prostoru V .
V = mat2x2, v =
1 2
3 4
, α = {
1 0
0 0
,
1 1
0 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
}
1 2
3 4
=a ·
1 0
0 0
+ b ·
1 1
0 0
+ c ·
1 1
1 0
+ d ·
1 1
1 1
a+b+c+d=1
b+c+d=2
c+d=3
d=4
d=4, c=3-d=3-4=-1, b=2-c-d=2-4+1=-1, a=1-b-c-d=1+1+1-4=-1
[v]α = (−1, −1, −1, 4)T
7
Součet a průnik podprostorů
S, T jsou podprostory vektorového prostoru V .
Množina S + T = {x + y, x ∈ S, y ∈ T} je podprostorem V a nazýváme jej
součtem S a T.
Pokud S ∩ T = ∅ je S + T přímý součet
Pro konečnědimenzionální prostory platí:
dimS + dimT = dim(S + T) + dim(S ∩ T) resp.
dim(S + T) = dimS + dimT − dim(S ∩ T)
Příklad 10 Nechť P1 = [M1], P2 = [M2] v R4
, kde
M1 = u1 = (4, 0, −2, −6), u2 = (2, 1, −2, 3), u3 = (3, 1, −2, 4)
M2 = v1 = (1, −1, 0, 2), v2 = (2, 2, −1, 3), v3 = (0, 1, 1, 0)
NajdteP1 + P2, P1 ∩ P2, jejich báze a dimenze.
P1 + P2 = {x + y; x ∈ P1, y ∈ P2}, tedy P1 + P2 = [M1 ∪ M2]
Určeme bázi [M1 ∪ M2] :




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
−2 −2 −2 0 −1 1
6 3 4 2 3 0



 ∼




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
0 −2 −1 1 0 2
0 0 −1 1 0 0



 ∼




4 2 3 1 2 0
0 1 1 −1 2 1
0 0 1 −1 4 4
0 0 0 0 4 4




u1, u2, u3, v2 jsou LN ⇒ P1 + P2 = [u1, u2, u3, v2] = R4
dim(P1 + P2) = 4
průnik:
x ∈ P1 ∩ P2
∃a1, a2, a3 : x = a1u1 + a2u2 + a3u3 ∈ P1
∃b1, b2, b3 : x = b1v1 + b2v2 + b3v3 ∈ P2
a1u1 + a2u2 + a3u3 = b1v1 + b2v2 + b3v3
a1u1 + a2u2 + a3u3ib1v1 − b2v2 − b3v3 = 0




4 2 3 −1 −2 0
0 1 1 1 −2 −1
−2 −2 −2 0 1 −1
6 3 4 −2 −3 0



 ∼




4 2 3 −1 −2 0
0 1 1 1 −2 −1
0 −2 −1 −1 0 −2
0 0 −1 −1 0 0



 ∼




4 2 3 −1 −2 0
0 1 1 1 −2 −1
0 0 1 1 −4 −4
0 0 0 0 −4 −4




b3 = p, b2 = −p, b1 = r
a3 = 4p − 4p − r = −r, a2 = p − 2p − r + r = −p, a1 = −2p+r+3r+2p
4 = r
P1 ∩ P2 = {x = ru1 − pu2 − ru3; p, r ∈ R} = {x = r(u1 − u3) − pu2; p, r ∈ R} =
{x = r · (1, −1, 0, 2) + p · (−2, −1, 2, −3); p, r ∈ R}
α(P1∩P2) = [(1, −1, 0, 2), (−2, −1, 2, −3)]
resp. P1∩P2 = {rv1+p(v3−v2); r, p ∈ R}, α(P1∩P2) = [(1, −1, 0, 2), (−2, −1, 2, −3)]
dim(P1 ∩ P2) = 2
8
Lineární zobrazení
Zobrazení f : U− > V se nazývá lineární, jestliže platí:
1. ∀x, y ∈ U : f(x + y) = f(x) + f(y)
2. ∀a ∈ K, x ∈ U : f(a · x) = a · f(x)
Předchozí podmínky lze souhrnně zapsat jako: f(ax+by) = af(x)+bf(y), f(0) =
0 Jádro zobrazení: Kerf = {x ∈ U; f(x) = 0}
Obraz zobrazení: Imf = {y ∈ V ; y = f(x), x ∈ U}
Zobrazení je izomorfismus, jestliže Kerf = {0} ∧ Imf = V
Příklad 11 Zjistěte, zda jsou následující zobrazení f(x) : R3
− > R2
lineární.
Pokud ano, určete Kerf a Imf:
1. f(x) = (1 + x1, x2)
2. f(x) = (1, 2)
3. f(x) = (x2
1, −2x2)
4. f(x) = (x1 + x2, x1 − x3)
Stejně jako u vektorových prostoru a podprostorů ověříme příslušné axiomy
1. V případech 1, 2 není obrazem nulového vektoru nulový vektor, nejedná
se tedy o lineární zobrazení
2. Pro příklad 3:
f(x + y) = f(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = ((x1 + y1)2
, −2 · (x2 + y2))
f(x) + f(y) = (x2
1, −2x2) + (y2
1. − 2y2) = (x2
1 + y2
1, −2 · (x2 + y2))
L = P
3. Pro případ 4:
f(ax + by) = f(ax1 + by1, ax2 + by2, ax3 + by3) = (ax1 + by1 + ax2 +
by2, ax1 + by1 − ax3 − by3)
af(x) + bf(y) = (ax1 + ax2, ax1 − ax3) + (by1 + by2, by1 − by3) = (ax1 +
by1 + ax2 + by2, ax1 + by1 − ax3 − by3)
L = P
9
Kerf : f(x) = 0 ⇒ x1 + x2 = 0 ∧ x1 − x3 = 0 ⇒ x1 = −x2, x1 = x3
x1 = t ⇒ Kerf = {(t, −t, t), t ∈ R} = [(1, −1, 1)]
Imf : obrazy vektorů standartní báze jsou (1, 1), (1, 0), (0, −1)
Imf = [(1, 1), (1, 0), (0, −1)] = [(1, 0), (0, 1)] = R2
Příklad 12 Je dáno lineární zobrazení f : R4
− > R4
f(x) = (x1 + x2 + x3 + x4, −x1 − x2 − x3 − x4, x1 − x2 + x3 − x4, −2x2 + 2x2 −
2x3 + 2x4) ∗
Určete Ker f, Im f a najděte jejich báze.
Abychom určili jádro zobrazení, musíme položit f(x) = 0, všechny 4 složky obrazu
tedy položíme rovny 0 a z daných 4 rovnic o 4 neznámých získáme hodnoty
souřadnic x1, x2, x3, x4 zobrazovaného vektoru.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
−x1 − x2 − x3 − x4 = 0
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
−2x1 + 2x2 − 2x3 + 2x4 = 0




1 1 1 1
−1 −1 −1 −1
1 −1 1 −1
−2 2 −2 2



 ∼




1 1 1 1
0 0 0 0
0 −2 0 −2
0 0 0 0



 ∼




1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0




x4 = t, x3 = s, x2 = −t, x1 = −s
Kerf = {s · (−1, 0, 1, 0) + t · (0, −1, 0, 1); s, t, ∈ R}
αKerf = [(−1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, −1)]
K určení obrazu daného zobrazení je nutné nejprve zobrazit prvky standartní
báze podle daného předpisu:
f(1, 0, 0, 0) = (1, −1, 1, −2) tedy x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 dosadíme
do předpisu ∗
f(0, 1, 0, 0) = (1, −1, −1, 2)
f(0, 0, 1, 0) = (1, −1, 1, −2)
f(0, 0, 0, 1) = (1, −1, −1, 2)
Ze zjištěných obrazů vybereme pouze ty lineárně nezávislé:



1 1 1 1
−1 −1 −1 −1
1 −1 1 −1
−2 2 −2 2



 ∼




1 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0




Vidíme, že LN jsou pouze vektory e1 = (1, 0, 0, 0) a e2 = (0, 1, 0, 0). Množinu
obrazů tedy můžeme zapsat jako lineární kombinaci obrazů těchto vektorů:
Imf = {a1f(e1)+a2f(e2); a1, a2 ∈ R} = {a1(1, −1, 1, −2)+a2(1, −1, −1, 2; a1, a2 ∈
R)}
αImf = [(1, −1, 1, −2), (1, −1, −1, 2)]
10
Matice lineárního zobrazení, matice přechodu
Mějme lineární zobrazení f : U− > V , v U je definovaná báze α = {u1, u2, . . . , un},
ve V báze β = {v1, v2, . . . , vm}.
Matice lineárního zobrazení: (f)βα = (f(u1)β, f(u2)β, . . . , f(un)β)
tedy obrazy vektorů báze vyjádřené v souřadnicích vzhledem k bázi β
f(u1) = a1v1 + . . . , amvm
Matice přechodu od báze k bázi β:
(id)βα : U− > U, (id)βα((u1)β, . . . (un)β)
vektory báze α v souřadnicích vzhledem k bázi β (pouze přechod od jedné báze
k druhé, bez klasického zobrazení)
platí: idβα = id−1
αβ
máme-li báze α a γ v U a β a δ ve V : (f)δγ = (id)δβ · (f)βα · (id)αγ
pro souřadnice platí:
(f(x))β = (f)βα · (x)α
(x)β = (id)βα · (x)α
Příklad 13 Určete matici lineárního zobrazení f : R3
− > R2
, f(x) = (x1 +
2x2 − 3x3, 2x − 1) v bázích α, β:
1. α = ε3, β = ε2
2. α = {(1, 2, 0), (−2, 1, 0, (3, 1, −1))}, β = {(2, 1), (0, 2)}
a najděte obraz vektoru x, jestliže (x)α = (0, −4, 1)T
ad1)
Nejprve určíme obrazy vektorů z báze α = ε3 dosazením do předpisu:
f(1, 0, 0) = (1, 2)
f(0, 1, 0) = (2, 0)
f(0, 0, 1) = (−3, 0)
Nyní bychom měli určit prvky matice zobrazení jako koeficienty u lineární
kombinace vektorů z báze β = ε2. Protože se však jedná o standartní bázi,
budou tyto koeficienty stejné jako již vypočítané obrazy.(položíme (1, 2) =
a1(1, 0) + a2(0, 1) => a1 = 1, a2 = 2 a podobně pro zbylé dva vektory).
(f)βα =
1 2 −3
2 0 0
11
Pro nalezení obrazu vektoru x vypočteme nejprve souřadnice v bázi β podle
vzorce:(f(x))β = (f)βα · (x)α Protože β je v našem případě standartní báze,
jsou souřadnice obrazu v této bázi právě ty, které byly požadovány:
(f(x))β =
1 2 −3
2 0 0
·


0
−4
1

=(-11,0)T
= f(x)
adb)
f(1, 2, 0) = (5, 2)
f(−2, 1, 0) = (0, −4)
f(3, 1, −1) = (8, 6)
(5, 2) = a1 · (2, 1) + b1 · (0, 2)
5 = 2a1 => a1 = 5
2
a1 + 2b1 = 2 => b1 = −1
4
(0, −4) = a2 · (2, 1) + b2 · (0, 2)
0 = 2a2 => a2 = 0
−4 = a2 + 2b2 => b2 = −2
(8, 6) = a3 · (2, 1) + b3 · (0, 2)
8 = 2a3 => a3 = 4
6 = a3 + 2b3 => b3 = 1
(f)βα =
5/2 0 4
−1/4 −2 1
(f(x))β =
5/2 0 4
−1/4 −2 1
·


0
−4
1

=(4,9)T
Tímto máme souřadnice obrazu vektoru x v bázi β. Potřebujeme je však určit
obecně, tedy ve standartní bázi. Toho docílíme tak, že použijeme vypočtené
souřadnice v bázi β jako koeficienty lineární kombinace vektorů z báze β a tuto
lineární kombinaci vyčíslíme:
f(x) = 4 · (2, 1) + 9 · (0, 2) = (8, 22)
12
Příklad 14 Nechť f : R1[x]− > R1[x] je lineární zobrazení definované předpisem
f(a+bx) = a+b(x+1). Najděte matici zobrazení f v bázi γ = {6+3x, 10+
2x}
(f)γγ = (f(γ1)γ, f(γ2)γ)
f(γ1) = f(6 + 3x) = 9 + 3x
f(γ2) = f(10 + 2x) = 12 + 2x
9 + 3x = a · (6 + 3x) + b · (10 + 2x)
9 = 6a + 10b
3 = 3a + 2b
=> b = 1/2, a = 2/3
12 + 2X = c · (6 + 3x) + d · (10 + 2x)
12 = 6c + 10d
2 = 3c + 2d
=> d = 4/3, c = −2/9
(f)γγ =
2/3 −2/9
1/2 4/3
13
Příklad 15 V R3
jsou dány báze α = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} a β = {(−1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
Určete matice (id)βα, (id)αβ a (x)β, (y)α, jestliže (x)α = (−1, 3, 0)T
, (y)β =
(2, 4, 7)T
.
V tomto příkladě nefiguruje žádné zobrazení, budeme tedy řešit pouze matice
přechodu z jedné báze ke druhé.Chceme-li získat matici přechodu od báze α k
bázi β, zapíšeme jednotlivé vektory báze α jako lineární kombinace vektorů báze
β a vyčíslíme koeficienty.
(1, 0, 0) = a1 · (−1, 1, 0) + b1 · (1, 1, 0) + c1 · (0, 0, 1)
1 = −a1 + b1
0 = a1 + b1
0 = c1
a1 = 1/2, b1 = −1/2
(1, 1, 0) = a2 · (−1, 1, 0) + b2 · (1, 1, 0) + c2 · (0, 0, 1)
c2 = 0, b2 = 1, a2 = 0
(1, 1, 1) = a3 · (−1, 1, 0) + b3 · (1, 1, 0) + c3 · (0, 0, 1)
c3 = 0, b3 = 1, a3 = 0
(id)βα =


−1/2 0 0
1/2 1 1
0 0 1


Matici přechodu od β k α můžeme spočítat stejným způsobem, nebo jednoduše
jako inverzní matici k (id)βα.


−1/2 0 0 1 0 0
1/2 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1

 ∼


1 0 0 −2 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 0 1

 ∼


1 0 0 −2 0 0
0 1 0 1 1 −1
0 0 1 0 0 1


(id)αβ =


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1


(x)β =


−1/2 0 0
1/2 1 1
0 0 1

 ·


−1
3
0

=


1/2
5/2
0


(y)α =


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1

 ·


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1




2
4
7

=


−4
−1
7


14
Příklad 16 Nechť jsou dány báze α a β stejné jako v předchozích příkladech.
Nechť f je lineární zobrazení s maticí v bázi α: (f)αα =


1 0 1
1 1 0
0 1 1

. Určete
jeho matici v bázi β
(f)ββ = (id)βα · (f)αα · (id)αβ
(f)ββ =


−1/2 0 0
1/2 1 1
0 0 1

 ·


1 0 1
1 1 0
0 1 1

 ·


−2 0 0
1 1 −1
0 0 1

 =
=


−1/2 0 0
1/2 1 1
0 0 1

 ·


−2 0 1
−1 1 −1
1 1 0

 =


1 0 −1/2
−1 2 −1/2
1 1 0


Příklad 17 Určete matici lineárního zobrazení z předchozího příkladu ve standartní
bázi a najděte jeho předpis.
Matici přechodu od báze α k ε získáme jednoduše zapsáním vektorů matice α
do sloupců. Opačnou matici přechodu dostaneme jako inverzi.
(id)εα =


1 1 1
0 1 1
0 0 1




1 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1

 ∼


1 0 0 1 −1 0
0 1 0 0 1 −1
0 0 1 0 0 1


(id)αε =


1 −1 0
0 1 −1
0 0 1


(f)εε =


1 1 1
0 1 1
0 0 1

 ·


1 0 1
1 1 0
0 1 1

 ·


1 −1 0
0 1 −1
0 0 1

 =


1 1 1
0 1 1
0 0 1

 ·


1 −1 1
1 0 −1
0 1 0

 =


2 0 0
1 1 −1
0 1 0


Předpis získáme vynásobením matice zobrazení ve standartní bázi obecným vektorem
(x1, x2, x3)T


2 0 0
1 1 −1
0 1 0

 ·


x1
x2
x3

 =


2x1
x1 + x2 − x3
x2


f(x) = (2x1, x1 + x2 − x3, x2)
15