Vlastní čísla, vlasní vektory
Vlastní číslo čtvercové matice A řádu n je takové číslo λ ∈ C, pro které existuje
alespoň jeden nenulový vektor tak, že Au = λu. Vektor u se nazývá
vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ.
Výpočet: (A − λE) · u = 0
det|A − λE| = 0− >vlastní čísla získáme z tohoto tzv. charakteristického poly-
nomu
Algebraická násobnost vlastního čísla λ= násobnost λ jakožto kořene charakteristického
polynomu
Geometrická násobnost=dimenze množiny všech vlastních vektorů příslušných
vlastnímu číslu λ
diagonalizace matice A:
-lze provést má-li matice řádu n právě n lineárně nezávislých vlastních vektorů
Nechť λ1, λ2, . . . , λn jsou vlastní čísla (ne nutně různá) a u1, u2, . . . , un příslušné
LN vlastní vektory. Pak platí:
A = P ·






λ1 0 ... ... 0
0 λ2 0 ... 0
0 ... λ3 0 0
... ... ... ... ...
0 ... ... 0 λn






· P−1
,
kde P = (u1, u2, . . . , un) je diagonalizace
Je-li matice A symetrická, jsou vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům
na sebe kolmé (ortogonální).
1
Příklad 1 Najděte vlastní čísla a vlastní vektory dané matice a pokud existuje,
i její diagonalizaci.
A =


0 1 0
−4 4 0
−2 1 2


−λ 1 0
−4 4 − λ 0
−2 1 2 − λ
− λ(4 − λ)(2 − λ) + 4(2 − λ) = (2 − λ)(λ2
− 4λ + 4) =
(2 − λ)(λ − 2)2
= 0 => λ1,2,3 = 2
λ = 2 :


−2 1 0
−4 2 0
−2 1 0

 ∼


−2 1 0
0 0 0
0 0 0


x3 = t, x2 = s, x1 = 1/2s
{(s, 2s, t), s, t ∈ R} = [(1, 2, 0), (0, 0, 1)]
dimenze množiny vl.vektorů je 2, zatímco řád matice 3. Diagonalizaci tedy nelze
provést.
2
Příklad 2
A=




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1




1 − λ 1 1 1
1 1 − λ −1 −1
1 −1 1 − λ −1
1 −1 −1 1 − λ
=
0 2 − λ 2 − λ −λ2
+ 2λ
0 2 − λ 0 λ − 2
0 0 2 − λ λ − 2
1 −1 −1 1 − λ
= −
2 − λ 2 − λ −λ2
+ 2λ
2 − λ 0 λ − 2
0 2 − λ λ − 2
=
= −[(2−λ)2
(λ2
−2)−(2−λ2
)(λ−2)−(2−λ)2
(λ−2)] = −[(2λ)2
(2λ−λ2
−λ+
2 − λ + 2)] = −[(2 − λ)2
(λ2
+ 4)] = (2 − λ)2
(λ2
− 4) = (2 − λ)2
(λ − 2)(λ + 2) = 0
λ1,2,3 = 2, λ4 = −2
λ = 2 :




−1 1 1 1
1 −1 −1 −1
1 −1 −1 −1
1 −1 −1 −1



 ∼




−1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0




x4 = t, x3 = s, x2 = p, x1 = p + s + t
{(p + s + t, p, s, t), t, s, p ∈ R} = [(1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0)]
λ = −2 :




3 1 1 1
1 3 −1 −1
1 −1 3 −1
1 −1 −1 3



 ∼




1 3 −1 −1
0 −8 4 4
0 −4 4 0
0 −4 0 4



 ∼




1 3 −1 −1
0 1 −1 0
0 0 −4 4
0 0 −4 4



 ∼




1 3 −1 −1
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 0




x4 = t, x3 = t, x2 = t, x1 = −t
[(1, −1, −1, −1)]
protože je dimenze stejná jako řád matice, můžeme provést diagonalizaci:
P =




1 1 1 1
0 0 1 −1
0 1 0 −1
1 0 0 −1




3
Příklad 3 Najděte diagonalizaci matice A =


5 2 −3
4 5 −4
6 4 −4


5 − λ 2 −3
4 5 − λ −4
6 4 −4 − λ
= (5−λ)2
(−4−λ)−48−48+18(5−λ)+16(5−λ)+
8(4+λ) = (λ2
−10λ+25)(−4−λ)−96+90−18λ+80−16λ+32+8λ = −4λ2
+40λ−
100−λ3
+10λ2
−25λ+106−26λ = −λ3
+6λ2
−11λ+6 = (λ−1)(λ−2)(λ−3) = 0
λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
λ1 = 1 :


4 2 −3
4 4 −4
6 4 −5

 ∼


1 1 −1
0 −2 1
0 −2 1

 ∼


1 1 −1
0 −2 1
0 0 0


x3 = t, x2 = −t/2, x1 = t/2
[(1, 1, 2)]
λ2 = 2 :


3 2 −3
4 3 −4
6 4 −6

 ∼


3 2 −3
0 1 0
0 0 0


x3 = t, x2 = 0, x1 = t
[(1, 0, 1)]
λ3 = 3 :


2 2 −3
4 2 −4
6 4 −7

 ∼


2 2 −3
0 −2 2
0 −2 2

 sim


2 2 −3
0 1 −1
0 0 0


x3 = t, x2 = t, x2 = t/2
[(1, 2, 2)]
P =


1 1 1
1 0 2
2 1 2


4
Příklad 4 Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice
1 1
−2 3
1 − λ 1
−2 3 − λ
= (1 − λ)(3 − λ) + 2 = 3 − 4λ + λ2
+ 2 = λ2
− 4λ + 5 = 0
λ1 = 2 + i, λ2 = 2 − i
λ1 = 2 + i :
−1 − i 1
−2 1 − i
∼
1 −(1+i)
2
0 0
x2 = t, x1 = 1−i
2 t
[(1 − i), 2]
λ2 = 2 − i :
−1 − i 1
−2 1 + i
∼
1 −1−i
2
0 0
x2 = t, x1 = 1+i
2
[(1 + i, 2)]
Poznámka: Pokud by zadání příkladu znělo: Nalezněte ortogonální diagonalizaci
matice, je třeba najít vlastní čísla, jim příslušné vlastní vektory normalizovat.
Takto vytvořené ortonormální vektory pak tvoří sloupce diagonalizace.
5