Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Matematika III - 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2010 Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Obsah přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace • Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů a Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace a Parciální derivace • Směrové derivace Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace a Parciální derivace • Směrové derivace Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo V diferenciálním a integrálním počtu funkcí jedné proměnné jsme se (jak už název napovídá) zabývali zobrazeními f : R ->■ R. Přirozeně se nabízí otázka, jak příslušné pojmy zobecnit pro případ zobrazení f : Rm —>• M". Začneme dvěma speciálními případy: • n=l - funkce více proměnných • m=l - křivka v prostoru R" Literatura Zobrazenia funkce více proměnných •ooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice Zobrazení f : R" —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme x\,... , x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:E"9(x1,..,x„)4f(x1,..,x„)6E a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) 1 y f (x, y) G R Literatura Zobrazenia funkce více proměnných •ooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice Zobrazení f : R" —> R nazýváme reálná funkce více proměnných (ty obvykle značíme x\,... , x„). Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v „prostoru" En = W budou značeny f:E"9(x1,..,x„)4f(x1,..,x„)6E a např. funkce f definované v „rovině" E2 = R2 budou značeny f : R2 3 (x, y) 1 y f (x, y) g R Definiční obor A c R" - množina, kde je funkce definována. (Častým úkolem - nejen - v písemkách bývá nalézt k dané formuli pro funkci co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o»oooooooooooooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + \y\ - y/2. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o»oooooooooooooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + \y\ - y/2. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. 190,0- Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o»oooooooooooooo oooooo Definiční obor funkce Příklad Nalezněte a v rovině zobrazte definiční obor funkce f (x, y) = arccos(x2 + y2 - 1) + J\x\ + \y\ - y/2. Řešení Funkce arccos připouští argument pouze z intervalu [—1,1], odmocnina připouští pouze nezáporný argument. Definičním oborem je tedy množina bodů (x, y) vyznačená na obrázku. 190,0- Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oo«ooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina Gf C R" x R = Rn+1 splňující Gf = {(xi, ■ ■ ■ ,xn, f(xi, • • • ,xn)); (xi,... ,x„) g A}, kde A je definiční obor funkce f. Zobrazenia funkce více proměnných oo«ooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice Grafem funkce více proměnných je podmnožina Gf C Rn x R = Rn+1 splňující Gf = {(xi, ■ ■ ■ ,xn, f(xi, • • • ,xn)); (xi,... ,x„) g A}, kde A je definiční obor funkce f. Příklad Grafem funkce definované v E2 x + y f (x, y) x2+y2 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0,0)}. 190,0. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooo»oooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooo»oooooooooooo oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 —> R je funkce dvou proměnných, c g fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Množinu Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooo»oooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Vrstevnice funkce dvou proměnných U funkcí dvou proměnných uvažujeme pro lepší názornou představu rovněž tzv. vrstevnice funkce (obdoba vrstevnic v geografickém smyslu). Definice Nechť f : R2 —> R je funkce dvou proměnných, c g R. Množinu fc = {(x,y)eR2:f(x,y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Zřejmě jde v případě vrstevnice na úrovni c o přímou analogii řezu grafu funkce f rovinou z = c. Pro představu o grafu funkce dvou proměnných jsou samozřejmě užitečné rovněž řezy rovinami x = 0 (bokorys), y = 0 (n á rys), z = 0 (půdorys). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo«ooooooooooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo«ooooooooooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Y!i=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,yn) jsou libovolné vektory. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo«ooooooooooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Y!i=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P|| dvoj bodů P, Q předpisem ll ;=i kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a P2 = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (y1-y2)2. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo«ooooooooooo oooooo Topologie euklidovských prostorů Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R", což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na R" definován standardní skalární součin u v = Y!i=i xiYi' kde u = (xi,...,x„) a v = (yi,...,y„) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti ||Q — P|| dvojic bodů P, Q předpisem ll ;=i kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. v E2 je vzdálenost bodů P\ = (xi,yi) a P2 = (x2,y2) dána ||P2-Pi||2 = (xi-x2)2 + (y1-y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R \\R- P|| = - P) + (/? - 0)|| < 11(0 - P)|| ^ ||(P - 0)||.a Literatura Zobrazení a funkce ví* ze proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro^ /é derivace OOOOO0OOOOOOOOI 30 oooooo Rozšíření pojmů topologie R pro body P\ libovolného Euklidovského prostoru En: Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOO0OOOOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie R pro body P\ libovolného Euklidovského prostoru En: Definice • Cauchyovská posloupnost - ||P; — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné JVgN), Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOO0OOOOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie R pro body P\ libovolného Euklidovského prostoru En: Definice • Cauchyovská posloupnost - ||P; — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné JVgN), • konvergentní posloupnost - \\Pj — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot ij, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOO0OOOOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Rozšíření pojmů topologie R pro body P\ libovolného Euklidovského prostoru En: Definice • Cauchyovská posloupnost - ||P; — Pj\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j (nebo taky ||P; — Pj\\ < e pro všechna i, j > N a vhodné WeN), • konvergentní posloupnost - \\Pj — P\\ < e, pro každé pevně zvolené e > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot ij, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P\, • hromadný bod P množiny A C En - existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, izolovaný bod P množiny A - existuje okolí bodu P neobsahující žádné další body z A (rovněž hromadný bod posloupnosti). Literatura Zobrazení a funkce ví ze proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace oooooo«ooooooo oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo«ooooooooo oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooo«ooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ó-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <5}, Literatura Zobrazení a funkce ví ze proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a sm írové derivace oooooo«ooooooo 30 oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ó-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé ó-oko\í bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooo«ooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ó-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé ó-oko\í bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooo«ooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ó-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé ó-oko\í bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, • vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, 9 ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ô), Pozn: pozor na kvantifikátory! Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooo«ooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Definice • uzavřená množina - obsahuje všechny své hromadné body, • otevřená množina - její doplněk je uzavřený, • otevřené ó-okolí bodu P - množina Os(P) = {Q e En; \\P-Q\\ <5}, 9 hraniční bod P množiny A - každé ó-oko\í bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, 9 vnitřní bod P množiny A - existuje č-okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, 9 ohraničená množina - leží celá v nějakém č-okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké ô), 9 kompaktní množina - uzavřená a ohraničená množina. Pozn: pozor na kvantifikátory! □ s - ■ ■O o. o- Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOOOO0OOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okol í Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOOOO0OOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okol í O každý bod a g A je buď vnitřní nebo hraniční, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOOOO0OOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okol í O každý bod a g A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOOOO0OOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okol í O každý bod a g A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných OOOOOOO0OOOOOOOO Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta Pro podmnožiny A C En v euklidovských prostorech platí: O A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému ô-okol í O každý bod a g A je buď vnitřní nebo hraniční, O každý hraniční bod je bud izolovaným nebo hromadným bodem A, O A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Q A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné podpokrytí, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooo«ooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta O Jsou-li A C Rm, B Cl Ml" otevřené, je otevřená i množina Ax 6 C Rm+". Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooo«ooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Věta O Jsou-li A C Rm, 8CR" otevřené, je otevřená i množina Ax 6C Rm+". O Jsou-li A C Rm, B C R" uzavřené, je uzavřená i množina Ax B C Rm+". Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooo«ooooooo oooooo Věta * O Jsou-li A Q B m 8 C I ln otevřené, je otevřená i množina A x B C Rm" fn O Jsou-li4CS m B C I ln uzavřené, je uzavřená i množina A x B C Rm" fn_ Q Jsou-li 4CS m e c i ln kompaktní, je kompaktní i množina A x B C Rm" fn_ Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo»oooooo oooooo Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek. Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooo»oooooo oooooo Křivky Už na příkladu s vrstevnicemi jsme viděli příklad „prostorových" křivek. Definice Křivka je zobrazení c : R —> En. Je třeba rozlišovat křivku a její obraz v En: Příklad Obrazem křivky t h> (cos(ř), sin(ř)), t g R v rovině E2 je jednotková kružnice, stejně jako v případě jiné křivky t h-> (cos(ř3), sin(ř3)), t g R. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooo«ooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice • Limita: limt^to c(ř) g E„ Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooo«ooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice • Limita: limt^to c(ř) g E„ • Derivace: c'(t0) = limt^to (c(t^(to)) g M' Limity, derivace i integrály lze spočítat po jednotlivých n souřadných složkách. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooo«ooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Analogicky k funkcím v jedné proměnné lze definovat: Definice ^ • Limita: limt^to c(ř) g E„ • Derivace: c'(t0) = limt^to ^W"^)) G R" • Integrál: Jab c(t)dt R" křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál c(t)dt. Navíc je křivka C(t) = J c(s)ds g R" dobře definovaná, diferencovatelná a platí C'(í) = c(ř) pro všechny hodnoty t g [a, b]. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace oooooooooooo«ooo oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooo«ooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř),..., c„(r)) existenci čísel ŕ; takových, že ci(b)-ci(a) = (b-a)cli(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooo«ooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Poznámka Ne vše funguje tak jako u funkcí jedné proměnné: Věta o střední hodnotě dává pro křivku c(ř) = (ci(ř),..., c„(r)) existenci čísel ŕ; takových, že ci(b)-ci(a) = (b-a)cli(ti). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) — c{a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě. Např. v rovině E2 pro c(ř) = (x(ř),y(ř)) takto dostáváme c(b) - c{a) = (x'(ab-a),y'(r])(b-a)) = {b-a)- {AO,Av)) pro dvě (obecně různé) hodnoty £, r\ e [a, b]. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooo«oo oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) € R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooooooooooooo«oo oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) € R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě to, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooooooooooooo«oo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě to, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ř2), ř g [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooooooooooooo«oo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) G En - vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě to, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ř2), ř g [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(í) = (- sin t, 1, 2í), c"(í) = (- cos ř, 0, 2), Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooooooooooooo«oo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(řo) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(řo) je tečna ke křivce c v bodě to, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(ř) = (cosř, ř, ř2), ř g [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(ř) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1,0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1,0,2). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných ooooooooooooo«oo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R —> En v bodě c(řo) e£„- vektor c'(to) G R" v prostoru zaměření R" daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(řo) +r • c'(to) je tečna ke křivce c v bodě to, narozdíl od tečného vektoru nezávisí na parametrizaci křivky c. V geometrii a fyzice se v souvislosti s křivkami zavádějí i další pojmy: Příklad Pro křivku c(t) = (cost, t, t2), t g [0, 3] určete rychlost, velikost rychlosti a zrychlení v čase t = 0. c'(t) = (- sin t, 1, 2t), c"(t) = (- cos t, 0, 2), c'(0) = (0,1,0), ||c'(0)|| = 1, c"(0) = (-1,0,2). Zrychlení ve směru tečny je pak ,,c/^,, (c'(0) • c/;(0)). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooo»o Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : Em —> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (f> En. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho „pohledu na věc", může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic - invertibilní zobrazení R" —> R". Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ip mezi spojnicí s počátkem a osou x Přechod z polárních souřadnic do standardních je Ppolární = (f> Rn+1. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOO* oooooo Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOO* oooooo Funkce jedné proměnné v polárních souřadnicích Jak už jsme podotkli, kartézské souřadnice jsou nejběžnější, ale nikoliv jediné možné. Mnohé „objekty" mají např. v polárních souřadnicích výrazně jednodušší vyjádření (toho využijeme i později zejména pro výpočty obsahů či objemů takových objektů). Příklad Archimedova spirála má v polárních souřadnicích rovnici r(ip) = a + btp, kde a, b g R jsou parametry. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Plán přednášky Q Literatura Q Zobrazení a funkce více proměnných • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů a Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Q Limita a spojitost funkce Q Parciální a směrové derivace a Parciální derivace • Směrové derivace Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a g R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x g 0{a) \ {a} platí f(x) g 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. x—^a Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a g R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x g 0{a) \ {a} platí f(x) g 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Limita funkce více proměnných Definici limity funkce v bodě lze takřka slovo od slova přepsat podle situace v případě funkcí jedné proměnné (okolí bodu již ale samozřejmě vypadají jinak). Definice Funkce f : R" —> R má ve svém hromadném bodě a g R" limitu L, jestliže ke každému okolí 0{Ľ) bodu L existuje okolí 0{a) bodu a tak, že pro všechna x g 0{a) \ {a} platí f(x) g 0{Ľ). Píšeme lim f(x) = L. Obdobně jde (při vhodné definici okolí) limitu definovat i v „nevlastních" bodech (kterých je pro n > 1 již 2"). Má-li mít funkce v daném bodě limitu, nesmí záležet na „cestě", po které k danému bodu konvergujeme (analogie limit zleva a zprava u funkcí jedné proměnné). Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta <» jednoznačnost limity, 3někdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, 3někdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 aněkdy také o c/vou policajtech :) 90.0- Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g(x)) = c ■ lim f(x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 • multiplikativita, divisibilita, 3někdy také o c/vou policajtech :) po. o- Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Vlastnosti limit Analogické jako v případě jedné proměnné: Věta • jednoznačnost limity, • věta o třech limitách a, • linearita, tj. lim (c • f(x) + d ■ g{x)) = c ■ lim f (x) + d ■ lim g(x), X—»3 X—»3 X—»3 • multiplikativita, divisibilita, • je-li limx^.a f(x) = 0 a funkce g{x) je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu x, pak lim f(x)g(x) = 0. aněkdy také o dvou policajtech :) Literatura Zobrazenia funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace oooooooooooooooo oooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) yV+y2+l-l v bodě (0,0). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a s měro /é derivace oooooooooooooooo oooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) V^+yHl-l v bodě (0,0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Příklad Vypočtěte limitu funkce f(x,y) yV+y2+l-l v bodě (0,0). Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = (x + y) sin ^ sin ^ v bodě (0, 0). J Příklad Vypočtěte limitu funkce f (x, y) = x*+y2 v bode (0,0) Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Spojitost funkce Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a g R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f (a). x—^a Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Spojitost funkce Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a g R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f (a). X—»3 Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooo Spojitost funkce Definice Funkce f : R" —> R je spojitá v hromadném bodě a g R", pokud má v a vlastní limitu a platí lim f(x) = f (a). X—»3 Věta (Weierstrassova) Spojitá funkce na kompaktní množině zde nabývá maxima i minima. Věta (Bolzanova) Necht f : R" —> R je spojitá na otevřené souvislé množině A. Jsou-li a, b g A takové, že f (a) < 0 < f (b), pak existuje c g A tak, že f (c) = 0. Literatura Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oooooo Plán přednášky • Funkce více proměnných • Topologie euklidovských prostorů • Křivky v euklidovských prostorech • Zobrazení Parciální a směrové derivace • Parciální derivace » Směrové derivace Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita t™0\ (f(xí>--->x<*-i>x<* + t, x,-+1,..., xn) - f(*í,...,*„*)), říkáme, že funkce f : En —> derivaci podle proměnné x; U(Xl*,...,xn*) nebo f>(xí, R má v bodě [xx*, a značíme fXi(xí>. .. ,x*] parciální . .,x*) (příp. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace •ooooo Parciální derivace jsou nejsnazším rozšířením pojmu derivace funkce jedné proměnné, kdy se na funkci f{x\,... , x„) více proměnných díváme jako na funkci jedné proměnné x; a ostatní považujeme za konstatní. Definice Existuje-li limita Jim \ {f(xi, xi-i,xi + t, x*+i, • • •, x*) - f (xí,..., xn*)) , říkáme, že funkce f : En —> R má v bodě [xx*,... ,x*] parciální derivaci podle proměnné x; a značíme ^,(x^,... ,x*) (příp. ^(Xl*,...,xn*) nebo^xí,...^*)). Podobně jako v případě jedné proměnné, pokud má funkce f : En —> R parciální derivace ve všech bodech nějaké otevřené množiny, jsou tyto derivace rovněž funkcemi z En do R. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o«oooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 T-ŕ(*o,yo) = lim -(f(x0 + t,y0) - f(x0,y0)) CIX t-)-0 t x-i-xo X — Xn ' d 1 T-f(*o,yo) = lim -(f(x0,y0 + ť) - f(x0,y0)) oy t—>o t = y f(*o,y) - f{xo,yo) y-s-yo y — yo Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace o«oooo Pro funkce v E2 dostáváme d 1 T-f(*o,yo) = lim -(f(x0 + t,y0) - f(x0,y0)) CIX t-)-0 t x-i-xo X — Xo ' d 1 T-f(*o,yo) = lim -(f(x0,y0 + t) - f(x0,y0)) oy t—>o t = y f(*o,y) - f{xo,yo) y-s-yo y — yo Poznámka Parciální derivace funkce f : E2 —> R podle x v bodě [xo,yo] udává směrnici tečny v bodě [xo,yo, f(xo,yo)] ke křivce (přesněji: ke grafu křivky), která je průsečíkem grafu Gf s rovinou y = yo. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oo»ooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo oo»ooo Parciální derivace vs. spojitost Rozdíl oproti funkcím jedné proměnné! Protože parciální derivace popisují chování funkce v okolí daného bodu jen velmi omezeně (pouze ve směru souřadných os), může se v jiných směrech chovat velmi divoce. Poznámka Z existence všech parciálních derivací v daném bodě neplyne spojitost v tomto bodě. Příklad Funkce f(x,y) pro x=0 nebo y=0 jinak má v bodě [0,0] obě parciální derivace nulové, přitom v tomto bodě neexistuje limita, a tedy není ani spojitá. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace ooo«oo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo ooo«oo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —> R má derivaci ve směru vektoru i/eR"v bodě x g En, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení ř h-> f(x + tv) v bodě ř = 0, tj. dvf(x) = lim -(f(x + tv) - f(x)). t->o t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv{x). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooooooooooooooo ooo«oo Směrové derivace Zmíněný nedostatek parciálních derivací se pokusíme napravit zavedením derivace v libovolném směru. Definice Funkce f : R" —> R má derivaci ve směru vektoru i/eR"v bodě x g En, jestliže existuje derivace dvf{x) složeného zobrazení t h-> f(x + tv) v bodě t = 0, tj. dvf(x) = lim -(f(x + tv) - f(x)). t->o t Směrovou derivaci v bodě x často značíme rovněž fv{x). Speciální volbou jednotkových vektorů ve směru souřadných os dostáváme právě parciální derivace funkce f. Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —> R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —> R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), □ rgi - ■ * Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf{x), dvg{x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Literatura Zobrazenia funkce více proměnných oooooooooooooooo Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace oooo»o Směrové derivace jsou tedy běžné derivace funkce jedné proměnné (f(t) = f(x + tv), proto i pro ně platí obvyklá pravidla pro derivování. Věta Existují-li pro v g R" směrové derivace dvf(x), dvg(x) funkcí f, g : En —>• R v bodě x e En, pak: O dkvf(x) = k ■ dvf(x), pro libovolné IteR, O dv(f± g)(x) = dvf(x) ± dvg(x), O dv(fg)(x) = dvf(x)g(x) + f(x)dvg(x), O pro g(x) ŽOjedvM = ^{dvf{x) g(x) - f(x)dvg(x)). Poznámka Neplatí ale aditivita vzhledem ke směrům: f(x)^duf(x) + dvf(x). Rovněž je vidět z výše uvedené věty, že směrová derivace nezávisí jen na „směru" vektoru, ale i na jeho velikosti. Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOOO 00000« Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) x4y2 x8 +y4 mimo počátek a f(0,0) = O, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Zobrazení a funkce více proměnných Limita a spojitost funkce Parciální a směrové derivace OOOOOOOOOOOOOOOO 00000« Směrové derivace vs. spojitost Že nám ke spojitosti nepomohlo ani zavedení směrových derivací, ukazuje následující příklad. Příklad Funkce definovaná předpisem f{x,y) x4y2 x8 +y4 mimo počátek a f(0,0) = O, má v počátku všechny směrové derivace nulové, přitom zde není spojitá (neboť při konvergenci „po různých parabolách" dostáváme různé limity). Již v případě limit jsme viděli, že nestačí zkoumat chování funkce ve směru souřadných os (parciální derivace), ani po přímkách (směrové derivace), proto by nás uvedené chování nemělo překvapit. □ g - ■