Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro^ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e mných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Matematika III - 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Obsah přednášky Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných • Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů » Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy a Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných 9 Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta rdiCIdlMI UcMvdCc vybblCM idUU • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy a Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Zuzana Došlá, Ondřej Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU Brno, 2006, 150 s. • Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. (příp. http://www.math.muni.cz/~plch/mapm). 9 Předmětové záložky v IS MU Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura $ Diferenciál funkcí více proměnných • Tečná nadrovina ke grafu funkce O Derivace vvšších řádů Tavlorova věta • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta • Lokální extrémy a Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál - opakování Funkce f : En —> R je diferencovatelná v bodě x, jestliže existuje vektor a = (ai,..., an) G R" takový, že pro všechny „směry" v G R" platí O v bodě x existují všechny směrové derivace dvf{x), v G R", O v <—> dvf{x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 0 0 = lim^o i [f(x+v)-f(x)-dvf{x)) v\ 0 0 = lirn^o i (f(x+v)-f(x)-a-v). v\ Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x e R", pak je v tomto bodě spojitá. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x e R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v) - f(x) = a ■ v + t(v), kde lim^0 tt^tt = 0. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Diferenciál vs. spojitost Díky tomuto zesílení parciálních a směrových derivací již dostáváme spojitost: Věta Je-li funkce f : R" —> R diferencovatelná v bodě x e R", pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz: Z diferencovatelnosti f v bodě x plyne f(x + v) - f{x) = a-v + t{v), kde lim^0 j$ = °- Proto: lim (fix +v)- f(x)) = lim (a ■ v + t(v)) = 0, a tedy lim f{x +v) = f{x). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e protne nných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Věta Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné v e R" je přitom dvf{x) = áf{x)(v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) = a ■ v. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e protne nných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/eR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t{f{x + tv) - f{x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(^) + HNm^=df(x)(1/) t^o tv a ■ v. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e protne nných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Je-li funkce f diferencovatelná v bodě x, pak má v tomto bodě všechny směrové (a tedy i parciální) derivace. Pro libovolné i/eR' je přitom dvf{x) = áf{x){v), tj. v označení z definice diferenciálu dvf(x) a ■ v. Důkaz: dvf{x) = lim -t{f{x + tv) - f{x)) = lim ±{df(x)(tv) + r(tv)) df(x)(^) + HNm^=df(x)(1/) t^o tv a ■ v. Poznámka Z předchozího je ihned vidět, že vektor parciálních derivací f'{x) je přímo roven vektoru a. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro^ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> K ,, df . df , áf = —áx + —áy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> K ,, df . df , áf = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Uvažujme f : E2 —> K se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě [xo,yo] je lineární funkce df : E2 —> K ,, df . df , áf = — dx + — dy ox oy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Příklad Přímo z definice určete df a funkci r pro f(x,y) = x2 +y2 v obecném bodě [x*,y*]. Řešení Kvůli přehlednosti označme h := dx, k := dy. Pak f(x*+dx,y*+dy)-f(x*,y*) = = (x* + hf + (y* + kf - (x*)2 - (y*)2 = = 2x*/7 + 2y*/7 + /72 + /c2. Odtud df (x*, y*)(h, k) = 2x* ■ h + 2y* ■ k a r(h, k) = h2 + k2. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooooooooo oooooooooooooo Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df a platí: ,, df . df . „. . df = —oxi + — dx2 H-----h t— dxn OX\ OX2 oxn (*) Necht f : En —> R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu xef„ spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí (*). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e1 Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Přibližné výpočty Podobně jako v případě diferenciálu funkcí jedné proměnné lze i diferenciál funkce více proměnných využít k (velmi) přibližným výpočtům. Příklad Pomocí diferenciálu přibližně vypočteme e1 Řešení Využijeme diferenciál funkce f{x,y) = ex3+y v bodě x = [0,0] s diferencemi v = (0,05; -0,02). Máme d f (x, y) = ex3+y -3x2 dx + ex3+y dy, a tedy df(0, 0) = Odx + Idy, což celkem dává odhad =0,053-0,02 _ f (0,05; -0,02) « f(0, 0) + df (0,05; -0,02) = 1 - 0,02 = 0,98. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných •O oooooooooooo oooooooooooooo Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : E2 —> M a pevný bod [xo,yo] G £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + ^(x0,yo)(x -x0) + ^(x0, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných •O oooooooooooo oooooooooooooo Tečná nad rovina ke grafu funkce Pro f : Ei —> R a pevný bod [xo,yo] G £2 uvažme rovinu v E3: df df z = f(x0,y0) + 7^(x0,yo)(x -x0) + ^(x0, yo)(y - yo)- Je to jediná rovina procházející (xo,yo), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(ř) = (x(ř),y(ř), f(x(ř),y(ř))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t,t,f(t, ŕ)). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro^ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných O* oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+i. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných o» oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+\. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x e En. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných o» oooooooooooo oooooooooooooo Obecně pro f : En —> R je tečnou rovinou afinní nadrovina v En+\. Tato nadrovina O prochází bodem (x, f(x)) O její zaměření je grafem lineárního zobrazení df(x) : En —> R, tj. diferenciálu v bodě x e En. Analogie s funkcemi jedné proměnné Diferencovatelná funkce f má na En v bodě xef„ nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Q Diferenciál funkcí více proměnných 9 Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta • Parciální derivace vyšších řádů » Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy 9 Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo »00000000000 oooooooooooooo Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>• R f ^ dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>• R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro\ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e mných 00 •ooooooooooo oooooooooooooo Pro pevný přírůstek v G R" je vyčíslení diferenciálů na tomto přírůstku opět operace na funkcích f : En —>• R f ^ dvf = df(v). Výsledkem je df(v) : En —>• R. Jestliže je tato funkce opět diferencovatelná, můžeme tento proces opakovat. Pro parciální derivace druhého řádu píšeme , d d ,r d2 r d2f {-o-)r =-r =- dxj dxj dxjdxj dxjdxj v případě opakované volby / = j píšeme také d Q d d2 _ d2f dxj dxj dxf dxf' Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo o«oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxik Věta Necht f : En —> R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x G R". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo o«oooooooooo oooooooooooooo Úplně stejně postupujeme při dalších iteracích a hovoříme o parciálních derivacích A-tého řádu dkf dxh ... dxik' Věta Necht f : En —> R je k-krát diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi až do řádu k včetně v okolí bodu x G R". Pak všechny parciální derivace nezávisí na pořadí derivování. Speciálně tedy pro n = 2 platí (při alternativním způsobu zápisu parciálních derivací): fxy(xQ,yo) = fyx(xQ,yo)- Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oo»ooooooooo oooooooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oo»ooooooooo oooooooooooooo Taylorův polynom funkce jedné proměnné - opakování Viděli jsme, že pro aproximaci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečna (tedy diferenciál). Lze ale použít i aproximace vyšších řádů. V tomto obecnějším případě potom hovoříme o Taylorově polynomu. Definice Nechť xo € V{f) je bod, ve kterém existují vlastní derivace f'(xo), f"{xo), ■ ■ ■, f^"\xo) funkce f(x) až do řádu n. Taylorův polynom stupně n funkce f (x) se středem v bodě xo je polynom 7(x)= Tn(x)= T„f(x)= T„f(x;x0) definovaný jako T(x) := f(x0)+f'(x0) (x-x0)+^^ (x-x0)2+- • •+^^ \ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooo«oooooooo oooooooooooooo Věta Necht f (x) má spojité derivace f'(x), f"(x), ..., f^n\x) na uzavřeném intervalu [a, b] a necht existuje vlastní derivace f(n+1)(x) na otevřeném intervalu (a, b). Potom pro každý bod x G (a, b) existuje bod c e (a, x) tak, že platí rovnost f(x) = T„(x) + Rn(x), kde Rn(x) = ^ffi (x - a)n+1, kde Tn{x) je Taylorův polynom stupně n funkce f{x) se středem v bodě a. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooo«ooooooo oooooooooooooo Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici Hf(x) d2f w ( 9xi/xi W " " " dxjxn (X)\ \dx„dxi^^ ' ' ' dx„dx„(^J Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooo«ooooooo oooooooooooooo Definice Je-li f : En —> R libovolná dvakrát diferencovatelná funkce v bodě x, nazýváme symetrickou matici dxjxn (XA dxndxn (X)/ Hessovou maticí (příp. Hessiánem) funkce f v bodě x. Často bývá Hessián značen f"{x). Poznámka Analogicky jako v případě parciálních derivací lze definovat i směrové derivace vyšších řádů v bodě x e En. Pak platí (za předpokladu spojitosti jedné ze stran v x) fuv(x) = fw{x) = uTHf{x)v = (Hf(x)u) • v. Hf(x) d2f dxjdxj w ( 9xi/xi(X) \^dxndx\ (X) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooo«oooooo oooooooooooooo Pro křivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xo + £t,yo + rjt) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df f3{t) = f(x0,y0) + ^(x0,y0)C + ^(x0,y0)í? + ^ (fxx{xo,yo)í2 + 2fxy(x0,y0)Cv + fyy{xo,yo)ri2 v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro\ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných 00 ooooo«oooooo oooooooooooooo Pro křivku c(ř) = (x(ř),y(ř)) = (xo + £t,yo + rjt) mají funkce a(t) = f(x(t),y(t)) df df f3{t) = f(x0,y0) + 7^(x0,y0)£ + ^(x0,y0)í? + ^ ^xx(x0,yo)C2 + 2fxy(x0,y0)£r? + fyy(x0, y0)rf v bodě (xo,yo) stejné derivace do druhého řádu včetně. Funkci (5 lze psát vektorově takto: P{t) = f(x0,y0) +df(x0,y0) ty+\(t,v)-Hf(x0,y0) nebo fj(t) = f(x0,y0) + df(x0,y0)(i/) + \Hf{x0,y0){v, v), kde v = (£>í?) = c'(r) Je přírůstek zadaný derivací křivky c(ř) a Hessián symetrická 2-forma. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooo«ooooo oooooooooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooo«ooooo oooooooooooooo Použití Hessiánu připomíná Taylorovu větu funkcí jedné proměnné! Tečná rovina je vynesena spolu s kvadratickým přiblížením pro funkci f(x,y) = sin(x) cos(y). Obecně pro funkce f : En —>• R, body x = [xi,... ,x„] G En a přírůstky v = (£1,..., £n) klademe dkf(x)(v) = ^—är(^. • • • .*«) • & • ~t« l R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro v G R" platí: f (x) = f (x* + v)= Tm{x) + Rm(x), Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooo«ooo oooooooooooooo Věta (Taylorova) Necht má funkce f : En —> R v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu m + 1. Pak pro ľ£K" platí: f(x) = f(x* + v)= Tm{x) + Rm(x), kde Tm(x) = f(x*)+df(x*)(v) + \ d2f(x*)(v) + ■ ■ ■ + ^ dmf(x*)(v), resp. R^) = -^^ydm+lf(x* + ev)(v), e g (o,i), je Taylorův polynom, resp. zbytek v Taylorově vzorci a v = x — x* je vektor diferencí. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro\ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných 00 ooooooooo»oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro\ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných 00 ooooooooo»oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0, y0) + df (x0, yo)(x - x0, y - y0) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro\ /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví< :e pro m e snných 00 ooooooooo»oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0, y0) + df (x0, yo)(x - x0, y - y0) Výraz třetího řádu r)3f ŕ)3 f ŕ)3 f ŕ)3 f Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooooooo»oo oooooooooooooo Přibližme si uvedené pojmy ve dvou proměnných: Tečná rovina: f(x0, y0) + df (x0, yo)(x - x0, y - y0) Výraz třetího řádu 93f , _ d3f d^(x,y)(e,r?) a obecně dx3 ^ + 3^2?? + 3^ř?2 + 0ř?3 dkf(x,y)(C,V) = Yl £=Q dkf í) dx^dy1 Poznámka Uvedené výrazy Vám snad připomínají binomickou větu. Tak si je lze rovněž "neformálně"zapamatovat: ^(*.y)(í,>rt = (^í+ !»)'. přičemž j-té mocniny nahrazujeme j-tými parciálními derivacemi. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooo«o oooooooooooooo Aproximace Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přesnost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooo«o oooooooooooooo Aproximace Taylorova věta nám (stejně jako v jednorozměrném případě) dává lepší možnosti aproximace funkcí v okolí bodu než pouhý diferenciál. Přesnost výpočtu samozřejmě přímo ovlivní i volba funkce, jejíž hodnoty budeme aproximovat. Příklad Pomocí Taylorovy věty přibližně vypočteme e0,1 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooooooooo* oooooooooooooo Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi i/ = (£,r?) = (0,05;-0,02). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooooooooo* oooooooooooooo Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi v = = (0,05;-0,02). Parciální derivace jsou: df - ~x3+y o „2 df _ „x3+3 e ° ' dy ~ 2 . o„2 , «^ 92f 9x ex3 (3x2 ď2f <9x2 ^3 9xy ex +^ -3x2, ď2f dy2 Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooooooooo* oooooooooooooo Řešení Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2 stupně funkce f(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi i/ = (£,r?) = (0,05;-0,02). Parciální derivace jsou: dl _ x3+y o „2 dl _ x3+y cP± _ dx ~ e OX ' dy ~ e ' dx2 ~ e*3+y -(3x2 • 3x2 + 6x), g = -3x2, g = e*3+y . Pak T2(0 + C, O + rj) = = f(0, 0) + df(0, 0) • (£, rj) + (£, r?) • d2f(O, 0) • ^ = 1 + r? + rj2. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo ooooooooooo* oooooooooooooo Přibližnou hodnotu vypočteme pomocí Taylorova polynomu 2. stupně funkce ř"(x,y) = ex +y v bodě [0,0] s diferencemi i/ = (£,r?) = (0,05;-0,02). Parciální derivace jsou: dl _ px3+y o „2 dl _ px3+y cP± _ dx — e OX ' <9y ~~ e > dx2 — .3_l„ o „ o . „ , 92f _ 3+y 2 _ x3+y 9xy <9y2 ex3+y -(3x2 • 3x2 + 6x), Pak T2(0 + C, O + rj) = = f (O, 0) + df(0, 0) • (£, r?) + (£, r?) • d2f (O, 0) = 1 + ľ] + ľ]2. Odtud dostáváme odhad eo,053-o,02 ~ i _ o, 02 + 0,022 = O, 9804. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Q Literatura Q Diferenciál funkcí více proměnných 9 Tečná nadrovina ke grafu funkce Q Derivace vyšších řádů, Taylorova věta rdiCIdlMI UcMvdCc vybblCM idUU • Hessián - aproximace 2. řádu • Taylorova věta Q Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných • Lokální extrémy 9 Absolutní (globální) extrémy Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* e En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x e U platí f(x) < f(x*) (resp. f{x) > f{x*)). Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* e En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x e U platí f(x) < ř"(x*) (resp. f(x) > f(x*))- Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x^x', hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* e En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df{x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO »0000000000000 Definice Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f je (lokálním) maximem (resp. minimem), jestliže existuje jeho okolí U takové, že pro všechny body x G Ľ platí f (x) < f (x*) (resp. f(x) > f (x*)). Pokud nastává v předchozích nerovnostech ostrá nerovnost pro všechny x 7^ x*, hovoříme o ostrém lokálním extrému. Vnitřní bod x* G En definičního oboru funkce f, ve kterém je diferenciál df{x) nulový, nazýváme stacionární bod funkce f. Nutnou podmínkou pro existenci maxima nebo minima v bodě x* (v případě diferencovatelnosti funkce f v x*) je vymizení diferenciálu v tomto bodě, tj. df(x*) = 0. Skutečně, pokud je df(x*) 7^ O, pak existuje směr v, ve kterém je dvf{x*) 7^ 0. Pak ovšem nutně je podél přímky x* + tv na jednu stranu od bodu x* hodnota funkce roste a na druhou klesá. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e prome nných 00 oooooooooooo 0*000000000000 Příklad Funkce f : E2 f (x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] + [0,0], pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooooooooo 0*000000000000 Příklad Funkce f : E2 f {x, y) definovaná předpisem íx2+y2, pro [x,y] + [0,0], pro [x, y] = [0,0] má v počátku ostré lokální maximum (přitom zde není spojitá, a tedy ani diferencovatelná). Příklad Funkce ŕ(x,y) = a/x2 + y2 je v počátku spojitá a má zde ostré lokální minimum, přestože v tomto bodě není diferencovatelná (grafem funkce je kuželová plocha - viz první přednáška). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO OO0OOOOOOOOOOO Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO OO0OOOOOOOOOOO Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = §£c/x + §^c/y = (y - yo)dx + (x - x0)c/y), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO OO0OOOOOOOOOOO Stacionární body Pro to, aby nabývala v daném bodě diferencovatelná funkce svého lokálního extrému (maxima nebo minima), je nutnou podmínkou, aby byl daný bod stacionární. Přitom ale (podobně jako u funkcí jedné proměnné) stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému. Např. funkce f(x,y) = (x — xo)(y — yo) má v bodě [xo,yo] stacionární bod (df = §£c/x + §^c/y = (y — yo)dx + (x - x0)dy), nemá zde však zřejmě lokální extrém (jde o tzv. "sedlo"). Poznat, jakého typu je daný stacionární bod, nám stejně jako v případě funkcí jedné proměnné umožní (díky Taylorově větě) derivace vyšších řádů. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooo«oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. ^'(xo) = 0). Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooo«oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. f'{xo) = Je-li f"{xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f (xo) + f'(xo)(x - xo) + \f"{í){x - xo)2 = = f(xo) + \f"(ax-xo)2, kde £ leží mezi x a xq. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooo«oooooooooo Situace v jedné proměnné Mějme funkci f : R —> R a její stacionární bod xo (tj. ^'(xo) = 0). Je-li f"(xo) < 0, má funkce v xo ostré lokální maximum (analogicky neostré, resp. minimum). Toto tvrzení vyplynulo z Taylorovy věty (stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f (xo) + f'(xo)(x - xo) + \f"{í){x - xo)2 = = f(xo) + \f"(ax-xo)2, kde £ leží mezi x a xo. Ze spojitosti f" a vlastnosti f"(xo) < 0 pak pro £ dostatečně blízko xo dostáváme f "(O < 0 a tedy R\(x) < 0 dostatečně blízko xo . Proto zde f (x) < f(xo) a xo je lokálním maximem. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —>• R a její stacionární bod x* (tj. ř"'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —> R a její stacionární bod x* (tj. f'(x*) - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = 7i(x) + /?i(x) = = f (x*) + df (x*)(x - x*) + \ d2f (0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde i = x* + 6v (pro 9 G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooo»ooooooooo Situace ve více proměnných Mějme funkci f : En —>• R a její stacionární bod x* (tj. ř"'(x*) = 0 - nulový vektor parciálních derivací). Z Taylorovy věty pak dostáváme (opět stačí uvážit Taylorův polynom 1. stupně a příslušný zbytek) f(x) = Ti(x) + /?i(x) = = f(x*) + df(x*)(x - x*) + \ d2f(0(x - x*) = = f(x*) + id2f(0(x-x*), kde ( = x* +9v (pro # G (0,1)) leží „mezi" x a x*. Zbývá do více proměnných přeložit podmínku, která říká, že výra d2f(0(x-x*) = (x-x*)7Wf(0(x-x*) je nekladný (resp. nezáporný) pro libovolné x. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u^O • pozitivně semidefinitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u € V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u^O • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u e. V 9 indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u, v e V. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny i/^0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/^0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V 9 indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u,v e. V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooo«oooooooo Pozitivně (negativně) definitní kvadratické formy Definice Kvadratická forma h : En —> R je • pozitivně definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny i/^0 • pozitivně se m i definitní, je-li h(u) > 0 pro všechny u G V • negativně definitní, je-li h(u) < 0 pro všechny i/^0 • negativně semidefinitní, je-li h(u) < 0 pro všechny u G V 9 indefinitní, je-li h(u) > 0 a h(v) < 0 pro vhodné u,v e. V. Často rovněž hovoříme o definitnosti matice A kvadratické formy h (jsou spolu ve vztahu h(u) = uTAu = Au ■ u). S těmito pojmy jste se setkali již v části věnované lineárním modelům a měli byste tedy umět rozeznat definitnost kvadratické formy (resp. její matice v dané bázi). Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy kdy platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy kdy platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy kdy platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooo«ooooooo Kritéria pozitivní definitnosti matic Daná symetrická matice A je pozitivně definitní, právě tehdy když platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A (tj. kořeny A jejího charakteristického polynomu \A — Xln\) jsou kladné, • všechny hlavní minory A jsou kladné (Sylvesterovo kritérium) Daná symetrická matice A je negativně definitní, právě tehdy kdy platí některá z těchto ekvivalentních podmínek: • všechny vlastní hodnoty matice A jsou záporné, • hlavní minory A střídají znaménko, počínaje záporným. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooooo«oooooo Věta Necht f : En —> R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En necht je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), Q je-li H f {x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooooo«oooooo Věta Necht f : En —> R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce a x* G En necht je stacionární bod funkce f. Potom O je-li Hf(x*) pozitivně (negativně) definitní, má f v x* ostré lokální minimum (maximum), Q je-li H f {x*) indefinitní, nemá f v bodě x* lokální extrém. O má-li f v x* lokální minimum (maximum), je Hf(x*) pozitivně (negativně) semidefinitní, Všimněme si, že věta nedává žádný výsledek, pokud je hessián funkce ve zkoumaném bodě degenerovaný (nulový). Důvod je opět stejný jako u funkcí jedné proměnné. Vtákových případech totiž existují směry, ve kterých první i druhá derivace zmizí a my proto v tomto řádu přiblížení neumíme poznat, zda se funkce bude chovat jako ř3 nebo jako ±r4 dokud nespočteme alespoň v potřebných směrech derivace vyšší. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooo«ooooo Příklad Uvažme funkci f(x,y) = sin(x) cos(y), která připomíná známá kartónová plata na vajíčka a spočtěme její lokální extrémy. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e prome nných 00 oooooooooooo ooooooooo»oooo Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx(x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = O, sin(y) = O, to je [x,y] = [^±±ir, £ir], pro libovolné k, £ e Z Q cos(y) = O, sin(x) = O, to je [x,y] = [/oř, ^^vr], pro libovolné k, £ e Z. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooooooo»oooo Příklad (pokr.) Spočtěme si nejprve první parciální derivace: fx(x,y) = cos(x)cos(y), fy{x,y) = - sin(x) sin(y), takže obě derivace budou nulové pro dvě sady bodů O cos(x) = 0, sin(y) = 0, to je [x,y] = [^^71-, &r], pro libovolné k, £ e Z Q cos(y) = 0, sin(x) = 0, to je [x,y] = [/oř, ^^vr], pro libovolné í(,rGZ. Druhé parciální derivace jsou uf(y, v\ _ ffxx f*y\ (y, v\ _ f-sin(x)cos(y) - cos(x) sin(y)\ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooo«ooo Příklad (pokr.) V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: O Hf(kTT + ^,£tt) = ± ^ , přičemž znaménko + nastává, když k a l jsou různé parity a naopak pro —, O Hf{kiľ,liľ + |) = ± ^ ^ , přičemž znaménko + nastává, když k a í jsou různé parity a naopak pro —. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooo«ooo V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a i jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a í. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé parity a naopak pro , přičemž znaménko + nastává, □ s - ■ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooo«ooo V našich dvou sadách bodů tedy dostáváme následující hessiány: když k a i jsou různé parity a naopak pro —. Protože naše funkce má spojitý hessián, který je nedegenerovaný, nastane lokální maximum tehdy a jen tehdy, když náš bod (x*,y*) patří do první skupiny se stejnými paritami k a í. Když budou parity opačné, pak bod z první skupiny bude naopak bodem lokálního minima. Naopak, hessián u druhé skupiny bodů se vyčíslí kladně na některých přírůstcích a záporně na jiných. Stejně se proto bude chovat i celá funkce f v okolí těchto stacionárních bodů. , přičemž znaménko + nastává, když k a £ jsou různé parity a naopak pro , přičemž znaménko + nastává, □ s - ■ Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Tayloro /a věta Lokální a absolutní extrémy funkcí ví :e pro m e nných 00 oooooooooooo ooooooooooo»oo Příklad (Poznámky) • matice ^ je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo ooooooooooo»oo Příklad (Poznámky) • matice ^ je indefinitní, přestože má oba hlavní minory nekladné (pro semidefinitnost je znaménko minorů pouze nutnou podmínkou!) • nalezené lokální extrémy šlo jistě najít snadněji úvahou o nabývání hodnot ±1 funkcí f(x,y) = sin(x) cos(y), neměli bychom ale jistotu, že jde o všechny extrémy. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f(x) (f(x*) < f(x)) pro všechna x e M. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f (x) (f (x*) < f (x)) pro všechna x e M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných oo oooooooooooo oooooooooooo«o Absolutní extrémy Definice Nechť f : En —> R a M je podmnožinou definičního oboru f. V bodě x* nabývá f absolutního (globálního) maxima (minima) na M, pokud je f(x*) > f (x) (f (x*) < f (x)) pro všechna x e M. Existence extrémů na kompaktní (uzavřené a ohraničené) množině vyplývá z Weierstrassovy věty. Věta Necht M C En je kompaktní množina, f : M —> R spojitá. Pak f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Hledání absolutních extrémů funkce na množině tak máme převedeno na nalezení lokálních extrémů (což umíme) a vyšetření hraničních bodů. To je ale často komplikovanější záležitost, které se budeme více věnovat později v části o vázaných extrémech. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO 0000000000000» Příklad Nalezněte extrémy funkce f (x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Literatura Diferenciál Derivace vyšších řádů, Taylorova věta Lokální a absolutní extrémy funkcí více proměnných OO OOOOOOOOOOOO 0000000000000» Příklad Nalezněte extrémy funkce f (x, y) = xy — x2 — y2 + x + y na množině M, která je dána trojúhelníkem, tvořeným souřadnými osami a přímkou x + y — 4 = 0. Řešení Jediným stacionárním bodem je [1,1], kde nastává absolutní maximum f(l, 1) = 1. Absolutní minimum —12 nastává v hraničních bodech [4,0] a [0,4].