Matematika III, 1. cvičení
Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bode [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y]; r).
Příklad 1. Určete definičná obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f (x, y) = \/(x2 + y2 - 1)(4 - x2 - y2). Vásledek. Mezikruží mezi k([0,0]; 1) a k([0,0];2) Příklad 2. Určete definičná, obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f (x, y) = \/l - x2 + Vi - y2. Vásledek. Je to čtverec se stredem v bode [0,0], jeho vrcholy jsou v bodech [±1, ±1]. Příklad 3. Určete definičná, obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f(x, y)
x2 + y2 - x 2x - x2 - y2
Vásledek. Prostor mezi k([2, 0]; ^) a       0]; 1), menší kružnice tam patrí, vetší ne. Příklad 4. Určete definičná, obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f (x, y) = arcsin — - , , 1 . ,.
y |y|-|x|
Vásledek. Prostor mezi prímkami y = x a y = -x krome techto prímek (do teto mnoziny patrí osa y krome bodu [0, 0], mnozina vypada jako presýpací hodiny).
Příklad 5. Určete definičná obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f (x, y) = \/1 - x2 - 4y2.
Vásledek. Elipsa (i s vnitrkem) se stredem v bode [0, 0], hlavní poloosou a = 1 (prochazí bodem [1,0]) a vedlejsí poloosou b = ^ (prochazí bodem [0, ^]).
Příklad 6. Určete definičná obor funkce f a zobrazte ho v rovine:
f (x y) = AA- yl- Zl
f (x,y)^1    a2    b2    c2.
Vásledek. Elipsoid (i s vnitrkem) se stredem v bode [0,0,0] a poloosami a (prochazí bodem [a, 0,0]), b (prochazí bodem [0, b, 0]) a c (prochazí bodem [0, 0, c]).
1
Vrstevnice funkcí, polární souřadnice
Máme funkci f: M — R, kde M C R2 a necht' c G R. Množinu fc = {[x, y] G M; f (x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na árovni c. Chápeme-li graf funkce f jako relief krajiny, pak vrstevnice funkce na árovni c je množina vsech bodu s nadmorskou výskou c, což se shoduje s pojmem vrstevnice v mapáach.
Příklad 7. Určete vrstevnice funkce z = x2 + y2.
Výsledek. Vrstevnice jsou x2 + y2 = c. Pokud c < 0, pak zc = 0. Pro c = 0 je zo = [0,0] a pro c > 0 máme x2 + y2 = y'c2, takže vrstevnice jsou kružnice k([0, 0]; ^/č).
Příklad 8. Pomoci vrstevnic a rezU rovinami gxz: y = 0 a gyz: x = 0 určete v prostoru graf
funkce _
z = 2 — \/ x2 + y2.
Výsledek. Graf funkce z je rotacná kužel s vrcholem v bode [0,0,2] a hlavní osou, která je castí osy z od 2 do —oo
Příklad 9. Pomoci vrstevnic a rezu rovinami gxz, gyz urcete v prostoru graf funkce
z = a/1 — x2 — y2.
Výsledek. Grafem je horná polovina kulove plochy (ležá v poloprostoru z > 0), jejámž stredem je bod [0,0,0] a polomer je 1.
Příklad 10. Pomoci vrstevnic a rezu rovinami gxz, gyz urcete v prostoru graf funkce
z = x2 + y2.
Výsledek. Grafem je rotacná paraboloid ležácá v poloprostoru z > 0, jeho vrchol („nejnižsá" bod) je [0,0,0].
Křivky v Rn, teCna ke křivce
Krivka v Rn je žobražení c: R — Rn, tedy c žobražá reálne cáslo x na bod [ci(x),... , cn(x)] v prostoru Rn, pricemž c1,... ,cn jsou funkce R — R. Derivace funkce c v bode t0, tj. vektor c'(í0) = (c1(t0),..., cn(t0)), je tecnám vektorem ke krivce c v bode c(t0). Prámka
p = {c(Í0)+ sc'(Í0); s G R}
je tecna ke krivce c v bode t0.
Příklad 11. Urcete tecnu krivky dane předpisem c(t) = (ln t, arctg t, esin(ní)) v bode t0 = 1. Výsledek. Tecna p = {[s, n + |, 1 — ns]; s G R}.
Příklad 12. Na krivce c(t) = (t2 — 1, —2t2 + 5t, t — 5) nejdete takový bod, Ze jim prochazejU tecna je rovnobězní s rovinou g: 3x + y — z + 7 = 0.
Nýpoveda. Smerovy vektor c'(t0) tecny ke krivce c(t) v bode t0 musá bát kolmy k normalovemu vektoru roviny g, takže skalarná soucin techto dvou vektoru musá bát roven 0. Pomocá tohoto skalarnáho soucinu vypocátame t0. Výsledek. Bod [3, —18, —7].
Příklad 13. Urcete parametrickou rovnici tecny v bode [1,1,\/2] ke krivce, jez vznikla jako prUsecik plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Napoveda. Krivku si v okolá daneho bodu vyjadrete stejnám žpusobem jako ve váse uvedenách pokladech.
Výsledek. Tecna p = {[1 — V2s, 1,     + s]; s G R}.
2