Matematika III, 2. cvičení
Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit 0 a e nemáme k dispozici žádnou analogii L'Hospitalova pravidla, musíme tedy používat ruzne ápravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedne promenne a limitou funkce dvou proměnnách spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedne promenne se k tomuto bodu muzeme blízit jen po prímce, tj. ze dvou stran (pak mí funkce limitu v bode, pokud existují obe jednostranne limity, ktere se rovnají), ale u funkce dvou a více promenních se k limitnímu bodu muzeme blízit nekonecne mnoha zpusoby (po prímkach, parabolach, ...). Existence limity v danem bode znamena, ze nezalezí na ceste, po ktere se k danemu bodu blízíme. Pokud tedy dostaneme ruzne hodnoty limity pro ruzne cesty, limita v danem bode neexistuje. V nasledujících príkladech vypocítejte limity, prípadne dokazte, ze neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodu nevyjde neurcití víraz, muzeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurcití víraz, muzeme zkouset ruzne postupy:
(1) rozlozit citatel nebo jmenovatel na soucin podle nejakeho znameho vzorce a pak by se neco mohlo vykratit;
(2) rozsírit citatel i jmenovatel necím vhodným podle nejakeho znameho vzorce a pak by se neco mohlo vykrítit;
(3) ohraničený výraz = q, q . (ohraniceny vyraz) = 0;
(4) pouzít vhodnou substituci, po ktere bychom dostali limitu jedne promenne;
(5) prevest limitu dvou promennych do polírních souradnic
x = r cos p, y = r sin p
(je-li v limite vyraz x2 + y2, polírní souradnice vetsinou fungují, protoze pak dostaneme jednodussí víraz x2 + y2 = r2 cos2 p + r2 sin2 p = r2(cos2 p + sin2 p) = r2, kterí nezívisí na p);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blízíme po prímkach, v prípade jineho limitního bodu je potreba drobní íprava, aby prímky limitním bodem prochízely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0,0] se blízíme po parabolach, v prípade jineho limitního bodu je opet potreba drobní íprava), prípadne jinak vhodne parametricky nahradit x = f (k) a y = g(k), a pokud bude hodnota limity zaviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze pouzít pouze k dukazu neexistence limity, nikoliv k vypoctu její hodnoty za predpokladu, ze existuje!
Příklad 14. lim(x;y)^(e2;i) ljf
Výsledek. 2.
Příklad 15. lim(X)y)^(4)4) ^f-^
Nápověda. Rozlozte jmenovatel na soucin podle vzorce pro rozdíl druhích mocnin. Výsledek. 4.
Příklad 16. lim^y)^^)
cos y x+y
3
Nápověda. Použijte postup (3). Výsledek. 0.
Příklad 17. lim^y^o^) ^X=l
Nýpověda. Rozšiřte žlomek výrazem y a použijte substituci t = xy (protože (x, y) — (0,2), bude t — 0).
Výsledek. 2.
příklad 18. Hm^y^oc.oc) i4+y4
Nápověda. Převeďte do polárních souřadnic x = r cos p,y = r sinp a protože (x,y) — (to, to), bude r — to, p G (0, f).
Výsledek. 0.
Příklad 19. lim(X)y)^(0)o)
Nápověda. Zvolte dve různé parametrizace, první bude y = 1 — ef, druhá bude y = x.
Výsledek. Pro první parametrizaci vyjde hodnota limity —4, pro druhou vyjde 0, takZe limita neexistuje.
Příklad 20. lim^^^o) fsžfj?
Nápověda. Preveďte do polarních souradnic, kde r — 0, p e (0, 2n).
Výsledek. cos2p, zaleZí tedy na tom, odkud se k bodu [0,0] blíZíme, tudíZ limita neexistuje. Příklad 21. lim(X)j)^(^)TO)()x2
Nýpověda. Preveďte do polárních souradnic, kde r — to, p e (0, |). Výsledek. 1 pro p = 4, ale pro p = | vyjde 0, takze limita neexistuje.
Příklad 22. lim(X),)^(1)1) ^Jffy
Výsledek. \[2.
příklad 23. lim(X),H(0)0) Vx2gfj2/f 1-1 Výsledek. 2.
Příklad 24. lim^^^o) xy2 cos Výsledek. 0.
Příklad 25. lim(X)j)^(0)0) ^^íX^^ Výsledek. 0.
Příklad 26. lim(X)j)^(0)0) f3^3 Výsledek. 0.
Příklad 27. lim(f)f)^(^)^)(x2 + y2)e"(f+f) Výsledek. 0.
4
x2
Příklad 28. lim(X)y)^(TO)1)(l + \) *+v Výsledek, e.
Příklad 29. lim^^-^o) Výsledek. Neexistuje. příklad 30. lim(X)y)^(Q)Q) ^Xľffg2) Výsledek. Neexistuje.
Příklad 31. Dokažte, ze lim(X)y)—(0)0) xxr-y neexistuje.
Nápověda. Zvolte y = kx2, tedy k bodu [0,0] se budeme blížit po parabolách.
Příklad 32. Pomocí svažku přímek procházejících limitním bodem dokažte, že nýsledující limita neexistuje:
2x + xy — y — 2
lim     —-^—-—--.
(X)2/)-Ki)-2) x2 + y2 — 2x + 4y + 5
Napoveda. Prímky že svažku mají rovnice y = kx + q, vyjádřete q v závislosti na k tak, aby odpovídající přímky procházely bodem [l, —2].
Výsledek. Limita vyjde rovna , což žavisí na k, limita je tedy žívisla na smeru, že kterého se blížíme k limitnímu bodu, takže limita neexistuje.
Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojita v bodech, ve kterích ma vlastní limitu (tj. limita existuje a je ružna od ±oo), ktera je rovna funkcní hodnote.
Příklad 33. Určete body, v nichž není spojita funkce f (x, y) = x2+-25-1. Výsledek. Kružnice k([0,0]; l).
Příklad 34. Urcete body, v nichž není spojitý funkce f (x, y) = ^"^(X—/) ). Výsledek. Množina bodu {[x,x + (2k + l)f ]; x G R, k G Z}. Příklad 35. Urcete body, v nichž není spojita funkce
' x3+y3 x2+y2
0        pro [x, y] = [0, 0]. Výsledek. Funkce je vsude spojita, vcetne bodu [0,0].
f(x,y) = {X2+y2 pro [x,y] = [0,^
0        pro [x, y] = [0, 0].
5