Matematika III, 4. cvičení
Diferenciál, aproximace, tečna rovina
Pro funkci jedne proměnné y = f (x) je diferenciál v bode xo dán vztahem df (x) = f'(xo)dx. Pro funkci dvou promennách f: R2 —>• R platí df (x,y) = /X (x, y)dx + /y (x,y)dy, diferenciál v pevnem bode [x0,y0] je
df (xo,yo) = /X(xo,yo)(x - xo) + fy(xo,yo)(y - yo) = /X(xo,yo)dx + /y(xo,yo)dy. Pomocí diferenciálu se urcí rovnice tecne roviny ke grafu funkce f (x, y) v bode [xo, yo, f (xo, yo)]:
z = f (xo ,yo) + /X (xo ,yo)(x - xo) + /y (xo,yo)(y - yo)   (= f (xo,yo) + df (xo,yo)).
V okolí bodu dotyku tecne roviny muZeme tedy pribliZne vypocítat funkcní hodnoty (místo presne funkcní hodnoty vezmeme hodnotu z tecne roviny):
f (x, y) = f (xo, yo) + df (xo, yo) = f (xo, yo) + /X (xo, yo)(x - xo) + /y (xo, yo)(y - yo).
Analogicky se pomocí parciílních derivací prvního radu urcí vztahy pro diferencial a tecnou nadrovinu funkce více promenních.
Diferenciál
Příklad 57. Určete diferenciál funkce f (x, y) = arctg j+xy v bode [\/3,1]. Výsledek. df(\/3,1) = jdx + jdy.
Příklad 58. Určete diferenciál funkce f (x, y) = arcsin   , x  „ v bode [1,\/3]. Výsledek. df (1, v/3) =    dx - j dy.
Příklad 59. Určete diferenciál funkce f (x, y) = xy + x v bode [1,1]. Výsledek. df (1,1) = 2dx.
Příklad 60. Vypočtěte diferenciál funkce f (x, y, z) = 2X sin y arctg z v bodč [-4, 2,0] pro dx = 0, 05, dy = 0, 06 á dz = 0, 08.
Výsledek. df (-4, §, 0) = 0dx + 0dy + ^dz = 0,005. Aproximace
Příklad 61. Pomocí diferenciálu približne vypočtěte \J2, 982 + 4,052. Výsledek. 5,028.
Příklad 62. Pomocí diferenciálu približne vypočtěte arctg .
Nápovedá. Zvolte funkci arctg x ,xo = yo = 1. Výsledek. f + 0,035.
Příklad 63. Pomocí diferenciálu priblične vypočtěte ln(0, 972 + 0,052).
Nápovedá. Zvolte funkci ln(x2 + y2),xo = 1,yo = 0. Výsledek. -0,06.
9
Příklad 64. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arcsin °05
1,05 •
Nápověda. Zvolte funkci arcsin x, x0 = 0, 5, y0 = 1. Vísledek. f - °J.
Příklad 65. Pomoci diferenciálu približne vypočtěte 1,042,02.
Napovedá. Zvolte funkci xy, x0 = 1,y0 = 2. Vásledek. 1,08.
Příklad 66. O kolik cm3 se približne změní objem kužele s poloměrem podstavy r = 10 cm a výškou v = 10 cm, zvětšíme-li polomer podstavy o 5mm a výšku o 5mm zmenšíme?
Napověda. Použijeme funkci pro objem kužele V(r, v) = 3nr2v, r0 = 10, v0 = 10, chceme spoCítat V(10, 5; 9, 5) - V(10; 10).
Výsledek. Objem kužele se žvetší asi o 50ncm3. Tecna řovina
Příklad 67. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = \/1 — x2 — y2 v bode [x0, y0, z0] = Výsledek. x + y + z = \/3.
Příklad 68. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = ex2+y2 v bode [x0,y0,z0] = [0,0, ?].
Výsledek. z0 = 1, z = 1.
Příklad 69. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = x2 + xy + 2y2 v bode
[x0, y0, z0] = [1, 1, ?].
Výsledek. z0 = 4,3x + 5y — z = 4.
Příklad 70. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = arctg | v bode [x0 ,y0,z0] =
[1,—1,?].
Výsledek. z0 = — 4, x + y — 2z = 2.
Příklad 71. Na kuZelosecce k o rovnici x2 + 3y2 — 2x + 6y — 8 = 0 najdete všechny body, v nichZje normala k teto kuZelosecce rovnobeZna s osou y. Pro kaZdý nalezeny bod zapište obecnou rovnici tečny k dane krivce v tomto bode.
Výsledek. [1,1] a [1, —3], rovnice tecen jsou y = 1, resp. y = —3.
Příklad 72. Na kuZelosecce o rovnici 3x2 + 6y2 — 3x + 3y — 2 = 0 najdete všechny body, v nichz je normala k teto kuZelosecce rovnobeZna s osou prvního kvadrantu. Pro kaědý nalezený bod zapište obecnou rovnici tečny k dane krivce v tomto bode.
Výsledek. Hledane body tedy jsou [4/3,1/6] a [—1/3, —2/3], obecne rovnice tecen ke kuželosecce v techto bodech jsou x + y = 3/2, resp. x + y = —1.
Příklad 73. Na kuZelosecce o rovnici x2 + xy + 2y2 — x + 3y — 54 = 0 najděte všechny body, v nichz je normala k teto kuZelosecce rovnobezní s osou x. Pro kaědý nalezeny bod zapište obecnou rovnici tečny k dane krivce v tomto bode.
10
Výsledek. Hledané body tedy jsou [—7,1] a [9, —3], obecné rovnice tečen ke kuželosečce v těchto bodech jsou x = —7, resp. x = 9.
Příklad 74. Na grafu funkce tří proměnných u = f (x, y, z) dané předpisem u = x^/y2 + z2 najděte bod, v němě je tečné nadrovina k tomuto grafu rovnoběžná s rovinou o rovnici x + y — z — u = 0.
Výsledek. Zadaní splňují dva body: [v% 1/v% —1/v% a/2] a [—v% — 1/v% 1/v% —v/2].
Příklad 75. K elipsoidu o rovnici x2 + 2y2 + z2 = 1 veďte tečné roviny rovnoběžné s rovinou o rovnici x — y + 2z = 0.
Napovžda. Rovnici tecne roviny k elipsoidu urcíme pomocí parcialních derivací funkce z = z(x, y) dane implicitne rovnicí elipsoidu x2 + 2y2 + z2 = 1. Pak normálový vektor k elipsoidu v bode [x0, yo, zo] bude (zX(x0, yo), (x0, yo), 1). Tento vektor musí byt rovnobežní s normílovym vektorem (1, —1, 2) žadane roviny, tudíž (2zX(x0,y0), 2zy(x0,y0), 2) = (1, —1,2). Z toho dostaneme 2x0 = z0,4y0 = —z0 a po dosažení do rovnice elipsoidu dostaneme dva body dotyku hledaních tecnych rovin: [, —     , ~$T2l] a [—^22, + ^22, — ~$T2l]. Odtud už snadno urcíme rovnice tecních
/22'   V22' V22J    L   v22'    V22' V22
rovin.
Výsledek. Hledane tecne roviny mají rovnice x — y + 2z = ±. Taylorův polynom funkce více proměnných, aproximace
Pripomeňme, že Tayloruv polynom stupne n G N funkce jedne promenne f: R — R se stredem v bode x0, ve kterem existují vlastní derivace f'(x0), f"(x0),..., f (n)(x0), je polynom
Tn(x; x0) = f (x0) + f '(x0 )(x — x0) + (x — x0)2 + • • • + f("n(,x0)(x — xo)n.
Míme-li funkci dvou promennych f: R2 — R, ktera mí v bode [x0,y0] a nejakem jeho okolí spojitíe parciíalní derivace aňž do ňríadu n + 1 vňcetnňe, pak pro kaňždíy bod [x, y] ž tohoto okolí platí f (x, y) = T„(x,y) + Rn(x,y), kde
Tn(x,y) = f (x0,y0) + fX (x0,y0)(x — x0) + fy (x0,y0 )(y — y0) +
1
2ll
+ 71[fX/x(x0,y0)(x — x0)2 + 2fXy (x0,y0)(x — x0)(y — y0) + fýy (x0,y0)(y — y0)2] +
1   '   ín\    dn f
+- + n g (J äx4v(xo, y0)(x—xo)n-J(y — yo)J
je Tayloruv polynom stupne n funkce f se stredem v bode [x0,y0] a Rn(x,y) je žbytek. Pro funkci více promennych se Tayloruv polynom urcí analogicky, napr. pro funkci tri promenních vypadía ňclen s druhíymi derivacemi takto:
^[fXUxo,yo,zo)(x — xo)2 + fyy(xo,yo, zo)(y — yo)2 + fZZ(xo,yo,zo)(z — zo)2+
+2fXy (xo,yo, zo)(x — xo)(y — yo) + 2fX/z (xo,yo, zo)(x — xo)(z — zo) + +2fyZ (xo ,yo, zo)(y — yo)(z — zo)].
Tayloruv polynom mužeme (stejne jako u funkcí jedne promenne) využít k pnbližnemu vípoctu funkňcních hodnot.
11
Taylorův polynom
Příklad 76. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f (x, y) = sin x sin y se středem v bodě [xo,yo] = [0,0].
Výsledek. T2(x, y) = 2 • 2 • 1(x - 0)(y - 0) = xy.
y
Příklad 77. Určete Taylorův polynom 2. stupne funkce f (x, y, z) = x z se středem v bode [xo,yo,zo] = [1,1,1].
Výsledek. T2(x,y,z) = 1 + (x - 1) + (x - 1)(y - 1) - (x - 1)(z - 1).
Příklad 78. Určete Taylorův polynom 2. stupne funkce f (x, y) = ln \J x2 + y2 se středem v bode
[xo, yo] = [1, 1].
Výsledek. T2(x,y) = ^ + 1 (x - 1) + 1 (y - 1) - 1 (x - 1)(y - 1).
Příklad 79. Určete Taylorův polynom 2. stupne funkce f (x, y) = arctg j+^l+y se středem v bode
[xo, yo] = [0, 0].
Výsledek. T2(x, y) = f + x - ^.
Příklad 80. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f (x, y) = C°ff se stredem v bode
[xo, yo] = [0, 0].
Výsledek. T2(x,y) = 1 - ^ + 2221.
Příklad 81. Určete Taylorův polynom 2. stupně funkce f (x, y) = arcsin   , x  „ se stredem v
bode [xo,yo] = [0,1].
Výsledek. T2(x, y) = x - x (y - 1).
Příklad 82. Necht je funkce y = y(x) dýna v okolí bodu [1,1] implicitně rovnici y3-2xy+x2 = 0. Určete Taylorův polynom 2. stupně teto funkce v bode xo = 1.
Výsledek. y(1) = 1, y'(1) = 0, y"(1) = -2, tudíž T2(x) = 1+0(x-1)+2(-2)(x-1)2 = 1-(x-1)2. Apřoximace
Příklad 83. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupne približne vypočtěte \J2,982 + 4,052. Výsledek. 5,0282116.
Příklad 84. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně približne vypočtěte 1,042'°2. Nýpověda. Zvolte funkci f (x, y) = xy, xo = 1, yo = 2.
Výsledek. 1,042>o2 = 1, 0824. Na strane 2 jsme pomocí diferenciálu získali približnou hodnotu 1, 08, presná hodnota je 1, 082448755 ... Opet jsme tedy získali mnohem lepší aproximaci oproti drívejsímu vypocttu.
Příklad 85. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně približne vypočtěte arctg o2of. Nýpověda. Zvolte funkci f (x, y) = arctg x ,xo = 1,yo = 1. Výsledek. arctg J^4 = f +0,0297.
Příklad 86. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně približne vypočtěte sin 29° tg 46°.
Napověda. Zvolte funkci f (x, y) = sin x tg y, xo = f, yo = f, musíme pocítat v radiínech, nikoliv ve stupních!
Výsledek. sin 29° tg 46° = 2 + 2^Ifo + (3 - VŠ) .
12