Matematika III, 7. cvičení
Integrální počet funkcí dvou proměnných
Pokud lze množinu S C R2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, 6}) umíme zadat dvéma funkcemi rozsah dalsí souřadnice y G (^(x),^(x)}, pak
f (x,y)dx dy = /     /      f (x,y)dy dx.
S Ja   \J<p(x) J
Příklad 113. Vypočtěte f   i)x(-i 2>(x2 +2xy)dx dy.
Výsledek. 5
2
Příklad 114. Vypočtěte ff{0 1)x(0 _3)[3(x - 1)2 + (y - 2)2 + 2] dx dy. Výsledek. 12.
Příklad 115. Vypočtěte J0 JJ, (2 — xy) dy dx. Výsledek. 2J.
Příklad 116. Vypočtěte    Jq (x sin y) dy dx. Výsledek. 1.
Příklad 117. Vypočtěte f3 f2x x2_3x+2 dy dx. (Tip: po nějaké době rozložte na parciální zlomky.) Výsledek. 3 ln 2 — ln 3.
Příklad 118. Zaměňte poradí integrace:    jjf f (x, y) dy dx. Výsledek. JQ4/^ f (x,y)dx dy.
Příklad 119. Zaměňte pořadí integrace: J02 J0sinx f (x,y)dy dx.
Výsledek. Jí /aLin y f (x, y) dx dy.
Příklad 120. Spočítejte J0V 2 Jyv 2 y2 sin x2 dx dy.
Nápověda. Protoze integrál / sin x2 dx neumíme vypocítat, zameňte nejdríve poradí integrace a pak výsledný integrál spocítejte pomocí substituce t = x2.
Výsledek. 6.
Příklad 121. Spočítejte I = /fM 8y dx dy, kde M = {[x, y] G R2; x > 0,xy > 1,x + y < f}.
2   ľ 2 —x
Napoveda. I = j2 f?    8y dy dx.
2 x
Výsledek. 2.
Příklad 122. Spocýtejte JfS xy2 dx dy, kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničený grafy funkcí y = x a y = x2.
Výsledek. j0.
Příklad 123. SpoCýtejte JfA x3y dx dy, kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničený grafy funkcí y = x a y = x3.
Výsledek. 30.
19
Transformace souřadnic při integraci
Nechť G(x,y): M C R2 — R2 je proste, prvky Jacobiho matice G'(x,y) jsou spojité funkce a det G' (x, y) = 0 pro vSechna [x, y] G M. Pak pro každou „rozumnou" (presneji Riemannovsky meritelnou) množinu K a spojitou funkci f: G(K) — R platí:
//     f (s,t)ds dt = // f (G(x,y))| det G'(x,y)| dx dy.
J JG(K) JJK
Velmi duiežita je transformace do poiarních souradnic:
x = r cos      y = r sin t£>,
tj. pro dane r a ^ dostaneme bod ve vzdaienosti r od pocatku [0, 0], pricemž velikost orien-tovaneho úhlu, vedeneho v kladnem smeru (tj. proti smeru hodinových rucicek) od osy x k poloprímce zacínající v [0, 0] a prochúzející pres tento bod, je
Tedy G(r, (£>) = [r cos   r sin t£>] = [g(r, (£>), h(r, (£>)]. Pak Jacobiho matice zobrazení G je
G'(r,^) = (h; íl) = (C°nS£ TcOTvľ) . Dale jacobian je det G'(r,^) = r cos2 + r sin2 = r. Protoze polomer r > 0, je | det G'(r, t£>)| = |r| = r. Transformace do polírních souradnic je obvykle vyhodna, pokud je mnozina, pres kterou integrujeme, kruhem, mezikruzím, kruhovou vísecí nebo necím podobným.
Nekdy je lepsí pouzít transformaci do polarních souradnic se stredem v bode [a, b] (obvykle v prípadech, kdy je mnozina, pres kterou integrujeme, podobna kruhu se stredem v bode [a, b]) místo víse uvedene transformace se stredem v bode [0,0]:
x = r cos (£> + a,   y = r sin ^ + b.
Snadno si muzete overit, ze jacobian teto transformace je opet r. Prípustne hodnoty novích promenních jsou r G (0, oo), (£> G (0, 2n).
Zdurazneme zejmena, ze transformace pri vypoctu integralu více promennych vybírame podle tvaru mnoziny, pres kterou se integruje, nikoliv podle integrovane funkce, jako je tomu u integralu jedne promenne!
Příklad 124. Pomoci přechodu k polárním souřadnicím zjednodušte dvojný integrál
I = // f (V x2 + y2)dx dy,
J J M
kde M : x2 + y2 < 1. Výsledek. 2n    rf (r) dr. Příklad 125. SpoCítejte integrál
II \/(x - 1)2 + (y + 1)2 dx dy,
M
kde M : 1 < (x - 1)2 + (y + 1)2 < 4.
Nípoveda. M je mezikruzí se stredem [1, —1], tudíz pouzijeme polarní souradnice se stredem
[1,-1].
Výsledek. 44tt.
Příklad 126. Užitím transformace u = xy,y = vx spočtěte I = jfA x2y2 dx dy, kde množina A je ohraničena křivkami xy = 4, xy = 2, 2y = x, y = 2x, pricemž x, y > 0.
20
Výsledek. Transformace x = \fu, y = \[wv,det G'(u, v) = , meze: u G (|, 2), v G (|, 2},/ = 24 in 2.
2
Příklad 127. Užitím transformace u = xy,v = spočtěte / = /JA \/xy dx dy, kde množina A je ohraničena krivkami y2 = 2x, y2 = x, xy = 1, xy = 2.
Napovedá. Není potreba vyjadřovat transformaci G : x = f (u, v), y = g(u, v). StaCí uvazovat inverzní transformaci G-1 : u = xy,v = ^, nebot' G o G-1 = id, tudíz det G' • det(G-1)' = det( 0i) = 1 a z toho det G'(u, v) = det(-G-iy(x y), priCemz pravou stranu rovnosti budeme muset prevest do pramenných u, v.
Výsledek. det(G-1)'(x, y) = ^f2, det G'(u, v) = 3L, meze: u G (1,2), v G (1,2},/ = f (2^2 -1)ln2.
Příklad 128. Vypočtěte integrál jjA 2(x2 + y2) dA, kde A : 1 < x2 + y2 < 4, y > |x|.
Nýpovžda. Preveďte do poiarních souradnic. Výsledek. |n.
Příklad 129. Vypočtěte JYjXzx7dy dx.
Napoveda. Transformujte do polírních souradnic.
8'
Výsledek. 8n.
Obsah plochy, hmotnost, těžiště
Integraiy můžeme využít napríklad pri vypocttu nasledujících vecí:
(1) obsah plochy A je
A dx dy,
(2) hmotní desticka mající plochu A a hustotu v bode [x, y] danou funkcí g(x, y) ma hmotnost
M = Jj e(x,y) dx dy,
(3) hmotna desticka mající plochu A a hustotu v bode [x, y] danou funkcí g(x, y) ma souradnice teziste [xo,yo] dane vztahy
x° = M /[A xp(x, y) dx dy,   yo = M1 Jj ye(x, y) dx dy.
Příklad 130. Určete obsah množiny A ohraničené krivkami x = y2 a x = 4y2 — 3. Vyýsledek. 4.
Příklad 131. Určete obsah rovinného obrazce omezeného krivkami o rovnicích x = 0, y = X, y = 8 a y = 4x.
Výsledek. 1 +2ln2.
Příklad 132. Mýme destičku ve tvaru rovnoramenneho pravouhleho trojúhelníka s preponou delky 1, jejíč hustota je prímo uiměrna vzdalenosti od jedne z odvěsen a v protějšým vrcholu je rovna 2. Najdete teziste destičky.
21
Nápověda. Uvažujte trojúhelník s vrcholy [0, 0], [l/V% 0], [0, l/\/2]. Výsledek. M = 1 , xq = ^, yo = JO^5 JO^5"* 2^2y2dydx = ^,T = [^, ^].
Příklad 133. Určete souřadnice těžiště homogenní destičky ohraničené grafy křivek y = x2 a x + y = 2.
Výsledek. T = [-2, 5].
Příklad 134. Určete souřadnice těžiště destičky, ohraničené grafy krivek y = x2 a x + y = l, je-li hustota v bode [x, y] rovna jeho vzdalenosti od osy y.
Výsledek. T = [-2, f].
Příklad 135. Určete součadnice těZiště T kruhové destičky x2 + y2 < a2, kde a > 0, je-li její hustota v danem bode pčémo éměrna vzdálenosti tohoto bodu od bodu [a, 0] (pro výpočet můZeme vzít hustotu rovnu c krát zménena vzdálenost).
Nepověda. Užijte transformaci x — a = r cos p, y = r sin p, tj. polární souřadnice se středem [a, 0].
Výsledek. M = 32ffc ,T = [—f, 0].
22