Algebra I - 2011/12 - zápočtová písemka
- skupina A
1. Faktorová grupa.
Nechť (G, •) je grupa všech matic tvaru
kde a,b,c G Z, spolu s operací násobení matic. Uvažujme v G podmnožinu
H
a,beZ>.
Ověřte, že H je normální podgrupou grupy (G, •). Určete, které grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, a svoje tvrzení dokažte.
Algebra I - 2011/12 - zápočtová písemka
- skupina A
2. Inverze ve faktorových okruzích.
Uvažujme polynomy / = x5 + x4 + 1, g = x3 + x2 + 1, h = x3 + 1 G Z2[i],
a) Je polynom / ireducibilní ? Své tvrzení dokažte.
b) Má g + (/) inverzi v okruhu (Z2[a:]/(/), +, •) ? Pokud ano, najděte ji a proveďte zkoušku. Pokud ne, zdůvodněte to.
c) Totéž jako b) pro h + (/).
Algebra I - 2011/12 - zápočtová písemka
- skupina B
1. Faktorová grupa.
Nechť (G, •) je grupa všech matic tvaru
kde a,b,c G Z, spolu s operací násobení matic. Uvažujme v G podmnožinu
H
1    0 (T 6a   1 0 36  6a 1,
a,beZ>.
Ověřte, že H je normální podgrupou grupy (G, ■). Určete, které grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, a svoje tvrzení dokažte.
Algebra I - 2011/12 - zápočtová písemka
- skupina B
2. Inverze ve faktorových okruzích.
Uvažujme polynomy / = x5 + x + 1, g = x3 + 1, h = x3 + x + 1 £ ^[x].
a) Je polynom / ireducibilní ? Své tvrzení dokažte.
b) Má g + (/) inverzi v okruhu (Z2[a:]/(/), +, •) ? Pokud ano, najděte ji a proveďte zkoušku. Pokud ne, zdůvodněte to.
c) Totéž jako b) pro h + (/).