Vlastní čísla, vlastní vektory, iterované procesy
1. Spočítejte vlastní čísla a vlastní vektory matic
A =


2 1 −1
0 1 2
0 0 1

 , B =


13 −28 3
4 −8 1
−1 4 1

 , C =




3 1 0 0
−4 −1 0 0
7 1 2 1
−17 −6 −1 0



 .
a určete algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel.
[A : λ1 = 2, an = 1, gn = 1, Eigen(2) = Span (1, 0, 0) ; λ2,3 = 1, an = 2,
gn = 1, Eigen(2) = Span (1, −1, 0) ]
[B : λ1,2,3 = 2, an = 3, gn = 1, Eigen(2) = Span (2, 1, 2) ]
[C : λ1,2,3,4 = 1, an = 4, gn = 2, Eigen(2) = Span (2, −4, −10, 0), (2, −4, 0, −10) ]
2. Diagonalizujte matici
A =


2 1 0
0 1 1
0 0 3

 .

A =


1 1 1
0 −1 1
0 0 2




2 0 0
0 1 0
0 0 3




1 1 −1
0 −1 1/2
0 0 1/2




3. V ČR je cca 700 tisíc fotbalistů, což zahrnuje profesionální i amatérské fotbalisty.
Analyzujte změny v počtech amatatérských a profesionálních hráčů (a jejich dlouhodobý
efekt), jestliže každý rok získá 15% amatérských fotbalistů status profesionála
a 10% profesionálních hráčů se stane zpět amatéry.
[dlouhodobě stabilní model - 3/5 profesionálové (tj. 420 tisíc) a 2/5 amatéři (tj.
280 tisíc)]
4. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec-kořist (vlk-zajíc) je vztah mezi
počtem vlků (Vk) a počtem zajíců (Zk) v daném a následujícím období následovný:
Vk+1 = 0.6Vk + 0.3Zk,
Zk+1 = −0.4Vk + 1.3Zk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za
podmínky, že počáteční počet vlků a zajíců je V0 = 20 a Z0 = 90.
[dlouhodobě stabilní populace 210 vlků a 280 zajíců]
1