Vektorové prostory
1. Ověřte, že následující množiny s uvedenými operacemi tvoří vektorový prostor:
a) Matice o rozměru 2 × 3 s klasicky definovaným sčítáním matic a násobením
matic reálným číslem.
b) V = {(1, x); x ∈ R}, (1, x) ⊕ (1, y) = (1, x + y), k (1, x) = (1, kx).
c) Polynomy nejvýše druhého stupně s reálnými koeficienty a klasicky definovaným
sčítáním polynomů a násobením polynomů reálným číslem.
2. Je podprostorem vektorového prostoru (R2
, +, ·)
a) přímka y = x?
[ano]
b) přímka y = x + 1?
[ne]
3. Napište nějakou bázi vektorových prostorů V1 = R3
, V2 = Mat2×2(R), V3 = P2
(polynomy stupně nejvýše 2).
4. Tvoří vektory (1, 1, 1), (1, 2, 0) a (1, 3, 1) bázi R3
?
[ano]
5. V prostoru polynomů stupně nejvýše 3 určete souřadnice vektoru v = x3
+3x2
−5x+2
v bázi u = (x3
+ x2
+ x + 1, x2
+ x + 1, x + 1, 1).
[[v]u = (1, 2, −8, 7) ]
6. Najděte matici přechodu od báze e = (1, x, x2
) k bázi u = (1, x + 1, 1 − x2
).




1 −1 1
0 1 0
0 0 −1




7. Najděte matici přechodu od báze u = ((1, 2, 1), (2, 5, 2), (1, 3, 2)) k bázi
v = ((4, −1, −1), (−2, 1, 0), (1, −1, 1)).




6 14 9
15 35 23
7 16 11




1