FI: PODZIM 2009 1 Skupina A
Zkouška MB101, úterý 12.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Kolik různých čtyřciferných čísel lze vytvořit z číslic 1,3,3,3,5,5,5,5,5?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 5 za podmínky, že
na první kostce padlo liché číslo.
(c) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou stejná čísla za
podmínky, že na prvních dvou kostkách padl součet nejvýše 8.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
3
(= 60◦
) v záporném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose x,
(c) zrcadlení vzhledem k přímce y =
√
3 x svírající s kladným směrem osy x úhel π
3
(= 60◦
).
Určete obraz vektoru u = (
√
3, 1) v každém z těchto tří zobrazení.
[Nápověda: cos π
3
= 1
2
, sin π
3
=
√
3
2
, cos π
6
=
√
3
2
, sin π
6
= 1
2
,
√
3 ≈ 1.7.]
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
−x1 + x2 + x3 = 0,
2x1 − x2 + (r − 1) x3 = 1,
x1 + r2
x3 = r,
4x1 − x2 + (r2
+ 2r − 1) x3 = r + 2,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R (tj. pro
které hodnoty parametru r řešení neexistuje
nebo existuje a tato řešení určete.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznáme) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 1 2 3 4 , u2 = 0 t 0 t 2t , u3 = 0 3 1 2 5 ,
u4 = 0 1 1 1 2 , u5 = 0 t 2 7 8 .
6. (4 body) Vektorové prostory. Lineární zobrazení L : P2 → P1 mezi vektorovými prostory P2 a P1
(polynomy stupně nejvýše 2 a stupně nejvýše 1) je zadáno obrazy polynomů p1 = x2
+x, p2 = x+1,
p3 = 1 následovně:
L(p1) = x + 1, L(p2) = x, L(p3) = x − 1.
Ve výchozím prostoru P2 uvažujme standardní bázi e = (x2
, x, 1) a také bázi p = (p1, p2, p3) a v
cílovém prostoru P1 uvažujme standardní bázi f = (x, 1).
(a) Určete matici A tohoto lineárního zobrazení v bázích p a f.
(b) Určete matici B tohoto lineárního zobrazení ve standardních bázích e a f.
(c) Určete obrazy polynomů x2
a x v tomto lineárním zobrazení.
(d) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra tohoto lineárního zobrazení (tj. podprostoru polynomů,
které se zobrazí na nulový polynom prostoru P1).
7. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A =




2 0 0 0
2 2 0 0
3 2 1 0
6 −3 2 1




Určete také algebraické a geometrické násobnosti vlastních
hodnot a rozhodněte, jestli je tato matice diagonalizovatelná
a jestli je regulární.
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 15% městské populace do předměstí a 5% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2009 1 Skupina B
Zkouška MB101, úterý 12.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Kolik různých čtyřciferných čísel lze vytvořit z číslic 2,4,4,6,6,6,6,6,6?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 5 za podmínky, že
na první kostce padlo sudé číslo.
(c) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou stejná čísla za
podmínky, že na prvních dvou kostkách padl součet nejvýše 8.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
6
(= 30◦
) v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose y,
(c) zrcadlení vzhledem k přímce y =
√
3 x svírající s kladným směrem osy y úhel π
6
(= 30◦
).
Určete obraz vektoru u = (
√
3, 1) v každém z těchto tří zobrazení.
[Nápověda: cos π
3
= 1
2
, sin π
3
=
√
3
2
, cos π
6
=
√
3
2
, sin π
6
= 1
2
,
√
3 ≈ 1.7.]
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
−x1 + x2 + x3 = −1,
2x1 − x2 + (r − 1) x3 = 3,
2x1 + r2
x3 = r + 2,
5x1 − x2 + (r2
+ 2r − 1) x3 = r + 7,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R (tj. pro
které hodnoty parametru r řešení neexistuje
nebo existuje a tato řešení určete.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznáme) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 1 2 3 4 , u2 = 0 t 0 t 2t , u3 = 0 3 1 2 5 ,
u4 = 0 1 1 1 2 , u5 = 0 t 2 6 8 .
6. (4 body) Vektorové prostory. Lineární zobrazení L : P2 → P1 mezi vektorovými prostory P2 a P1
(polynomy stupně nejvýše 2 a stupně nejvýše 1) je zadáno obrazy polynomů p1 = x2
+x, p2 = x+1,
p3 = 1 následovně:
L(p1) = x + 1, L(p2) = x, L(p3) = x − 1.
Ve výchozím prostoru P2 uvažujme standardní bázi e = (x2
, x, 1) a také bázi p = (p1, p2, p3) a v
cílovém prostoru P1 uvažujme standardní bázi f = (x, 1).
(a) Určete matici A tohoto lineárního zobrazení v bázích p a f.
(b) Určete matici B tohoto lineárního zobrazení ve standardních bázích e a f.
(c) Určete obrazy polynomů x2
a x v tomto lineárním zobrazení.
(d) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra tohoto lineárního zobrazení (tj. podprostoru polynomů,
které se zobrazí na nulový polynom prostoru P1).
7. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B =




2 0 0 0
2 2 0 0
4 2 1 0
5 −5 2 1




Určete také algebraické a geometrické násobnosti vlastních
hodnot a rozhodněte, jestli je tato matice diagonalizovatelná
a jestli je regulární.
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 10% městské populace do předměstí a 10% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2009 1 Skupina C
Zkouška MB101, úterý 12.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Kolik různých čtyřciferných čísel lze vytvořit z číslic 1,1,1,1,2,2,2,3,3?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 6 za podmínky, že
na první kostce padlo liché číslo.
(c) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou stejná čísla za
podmínky, že na prvních dvou kostkách padl součet nejvýše 8.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
6
(= 30◦
) v záporném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose x,
(c) zrcadlení vzhledem k přímce y =
√
3
3
x svírající s kladným směrem osy x úhel π
6
(= 30◦
).
Určete obraz vektoru u = (1,
√
3) v každém z těchto tří zobrazení.
[Nápověda: cos π
3
= 1
2
, sin π
3
=
√
3
2
, cos π
6
=
√
3
2
, sin π
6
= 1
2
,
√
3 ≈ 1.7.]
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
−x1 + x2 + x3 = 1,
2x1 − x2 + (r − 1) x3 = 0,
−2x1 + r2
x3 = r,
x1 − x2 + (r2
+ 2r − 1) x3 = r + 1,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R (tj. pro
které hodnoty parametru r řešení neexistuje
nebo existuje a tato řešení určete.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznáme) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 1 2 3 4 , u2 = 0 t 0 t 2t , u3 = 0 3 1 2 5 ,
u4 = 0 1 1 1 2 , u5 = 0 t 2 5 8 .
6. (4 body) Vektorové prostory. Lineární zobrazení L : P2 → P1 mezi vektorovými prostory P2 a P1
(polynomy stupně nejvýše 2 a stupně nejvýše 1) je zadáno obrazy polynomů p1 = x2
+x, p2 = x+1,
p3 = 1 následovně:
L(p1) = x + 1, L(p2) = x, L(p3) = x − 1.
Ve výchozím prostoru P2 uvažujme standardní bázi e = (x2
, x, 1) a také bázi p = (p1, p2, p3) a v
cílovém prostoru P1 uvažujme standardní bázi f = (x, 1).
(a) Určete matici A tohoto lineárního zobrazení v bázích p a f.
(b) Určete matici B tohoto lineárního zobrazení ve standardních bázích e a f.
(c) Určete obrazy polynomů x2
a x v tomto lineárním zobrazení.
(d) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra tohoto lineárního zobrazení (tj. podprostoru polynomů,
které se zobrazí na nulový polynom prostoru P1).
7. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
C =




2 0 0 0
2 2 0 0
5 2 1 0
4 −2 2 1




Určete také algebraické a geometrické násobnosti vlastních
hodnot a rozhodněte, jestli je tato matice diagonalizovatelná
a jestli je regulární.
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 25% městské populace do předměstí a 15% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2009 1 Skupina D
Zkouška MB101, úterý 12.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Kolik různých čtyřciferných čísel lze vytvořit z číslic 2,2,2,2,2,4,4,6,6?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 6 za podmínky, že
na první kostce padlo sudé číslo.
(c) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na všech kostkách padnou stejná čísla za
podmínky, že na prvních dvou kostkách padl součet nejvýše 8.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
3
(= 60◦
) v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose y,
(c) zrcadlení vzhledem k přímce y =
√
3
3
x svírající s kladným směrem osy y úhel π
3
(= 60◦
).
Určete obraz vektoru u = (1,
√
3) v každém z těchto tří zobrazení.
[Nápověda: cos π
3
= 1
2
, sin π
3
=
√
3
2
, cos π
6
=
√
3
2
, sin π
6
= 1
2
,
√
3 ≈ 1.7.]
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
−x1 + x2 + x3 = 0,
2x1 − x2 + (r − 1) x3 = 2,
−x1 + r2
x3 = r − 1,
2x1 − x2 + (r2
+ 2r − 1) x3 = r + 3,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R (tj. pro
které hodnoty parametru r řešení neexistuje
nebo existuje a tato řešení určete.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznáme) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 1 2 3 4 , u2 = 0 t 0 t 2t , u3 = 0 3 1 2 5 ,
u4 = 0 1 1 1 2 , u5 = 0 t 2 4 8 .
6. (4 body) Vektorové prostory. Lineární zobrazení L : P2 → P1 mezi vektorovými prostory P2 a P1
(polynomy stupně nejvýše 2 a stupně nejvýše 1) je zadáno obrazy polynomů p1 = x2
+x, p2 = x+1,
p3 = 1 následovně:
L(p1) = x + 1, L(p2) = x, L(p3) = x − 1.
Ve výchozím prostoru P2 uvažujme standardní bázi e = (x2
, x, 1) a také bázi p = (p1, p2, p3) a v
cílovém prostoru P1 uvažujme standardní bázi f = (x, 1).
(a) Určete matici A tohoto lineárního zobrazení v bázích p a f.
(b) Určete matici B tohoto lineárního zobrazení ve standardních bázích e a f.
(c) Určete obrazy polynomů x2
a x v tomto lineárním zobrazení.
(d) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra tohoto lineárního zobrazení (tj. podprostoru polynomů,
které se zobrazí na nulový polynom prostoru P1).
7. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
D =




2 0 0 0
2 2 0 0
6 2 1 0
3 −6 2 1




Určete také algebraické a geometrické násobnosti vlastních
hodnot a rozhodněte, jestli je tato matice diagonalizovatelná
a jestli je regulární.
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 10% městské populace do předměstí a 5% příměstské populace do města.