FI: PODZIM 2008 1 Skupina A
Zkouška MB101, úterý 13.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. V cukrárně vybíráme 3 kopečky zmrzliny z 6 druhů.
(a) Nejprve vybíráme do kornoutu, kde jsou kopečky umísťovány postupně jeden na druhý. Určete
počet různých takto vytvořených zmrzlinových kornoutů, jestliže se již vybraný druh zmrzliny
nemůže opakovat resp. může opakovat.
(b) Dále vybíráme do misky, kam jsou kopečky umísťovány bez ohledu na pořadí. Určete počet
různých takto vytvořených misek se zmrzlinou, jestliže se již vybraný druh zmrzliny nemůže
opakovat resp. může opakovat.
2. (3 body) Náhodné jevy.
(a) Napište definici nezávislosti náhodných jevů A a B.
(b) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(c) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 5 za podmínky, že
na první kostce padlo číslo 2.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose x,
(c) projekce na osu x,
(d) složené zobrazení otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení vzhledem k ose x,
(e) složené zobrazení projekce na osu x a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(f) složené zobrazení projekce na osu x a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení
vzhledem k ose x.
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
4x1 + 3x2 − 2x3 = 13,
2x1 − x2 = 9,
x1 + x2 + r x3 = 3,
x1 + 2x2 − x3 = 2,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznám) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 0 t 0 , u3 = 1 1 1 1 ,
u2 = 1 −1 0 0 , u4 = t 2 3 4 .
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 matic řádu 2 a v něm množinu U takových matic, které
mají součet prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součet prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je U vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
(b) Uvažujme vektorový prostor Mat3×3 matic řádu 3 a v něm množinu V takových matic, které
mají součin prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součin prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je V vektorový podprostor v prostoru Mat3×3 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
7. (5 bodů) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A =




1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0




(včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice A
matice A a determinant matice A−1
(pokud A−1
existuje).
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 15% městské populace do předměstí a 5% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2008 1 Skupina B
Zkouška MB101, úterý 13.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. V cukrárně vybíráme 3 kopečky zmrzliny z 7 druhů.
(a) Nejprve vybíráme do kornoutu, kde jsou kopečky umísťovány postupně jeden na druhý. Určete
počet různých takto vytvořených zmrzlinových kornoutů, jestliže se již vybraný druh zmrzliny
nemůže opakovat resp. může opakovat.
(b) Dále vybíráme do misky, kam jsou kopečky umísťovány bez ohledu na pořadí. Určete počet
různých takto vytvořených misek se zmrzlinou, jestliže se již vybraný druh zmrzliny nemůže
opakovat resp. může opakovat.
2. (3 body) Náhodné jevy.
(a) Napište definici nezávislosti náhodných jevů A a B.
(b) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(c) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 6 za podmínky, že
na první kostce padlo číslo 3.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose y,
(c) projekce na osu y,
(d) složené zobrazení otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení vzhledem k ose y,
(e) složené zobrazení projekce na osu y a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(f) složené zobrazení projekce na osu y a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení
vzhledem k ose y.
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
4x1 + 3x2 − 2x3 = 8,
2x1 − x2 = −6,
x1 + x2 + r x3 = 3,
x1 + 2x2 − x3 = 7,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznám) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = 0 t 0 t , u3 = 1 1 1 1 ,
u2 = −1 1 0 0 , u4 = 2 t 4 3 .
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 matic řádu 2 a v něm množinu U takových matic, které
mají součin prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součin prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je U vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
(b) Uvažujme vektorový prostor Mat3×3 matic řádu 3 a v něm množinu V takových matic, které
mají součet prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součet prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je V vektorový podprostor v prostoru Mat3×3 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
7. (5 bodů) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B =




0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0




(včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice B
matice A a determinant matice B−1
(pokud B−1
existuje).
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 10% městské populace do předměstí a 10% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2008 1 Skupina C
Zkouška MB101, úterý 13.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. V cukrárně vybíráme 3 kopečky zmrzliny z 8 druhů.
(a) Nejprve vybíráme do kornoutu, kde jsou kopečky umísťovány postupně jeden na druhý. Určete
počet různých takto vytvořených zmrzlinových kornoutů, jestliže se již vybraný druh zmrzliny
nemůže opakovat resp. může opakovat.
(b) Dále vybíráme do misky, kam jsou kopečky umísťovány bez ohledu na pořadí. Určete počet
různých takto vytvořených misek se zmrzlinou, jestliže se již vybraný druh zmrzliny nemůže
opakovat resp. může opakovat.
2. (3 body) Náhodné jevy.
(a) Napište definici nezávislosti náhodných jevů A a B.
(b) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(c) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 7 za podmínky, že
na první kostce padlo číslo 4.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose x,
(c) projekce na osu x,
(d) složené zobrazení otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení vzhledem k ose x,
(e) složené zobrazení projekce na osu x a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(f) složené zobrazení projekce na osu x a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení
vzhledem k ose x.
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
4x1 + 3x2 − 2x3 = 9,
2x1 − x2 = −3,
x1 + x2 + r x3 = 3,
x1 + 2x2 − x3 = 6,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznám) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t 0 t 0 , u3 = 1 1 1 1 ,
u2 = 0 −1 1 0 , u4 = 3 2 t 4 .
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 matic řádu 2 a v něm množinu U takových matic, které
mají součet prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součet prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je U vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
(b) Uvažujme vektorový prostor Mat3×3 matic řádu 3 a v něm množinu V takových matic, které
mají součin prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součin prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je V vektorový podprostor v prostoru Mat3×3 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
7. (5 bodů) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
C =




0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 1 0
1 1 0 0




(včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice C
matice A a determinant matice C−1
(pokud C−1
existuje).
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 25% městské populace do předměstí a 15% příměstské populace do města.
FI: PODZIM 2008 1 Skupina D
Zkouška MB101, úterý 13.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. V cukrárně vybíráme 3 kopečky zmrzliny z 9 druhů.
(a) Nejprve vybíráme do kornoutu, kde jsou kopečky umísťovány postupně jeden na druhý. Určete
počet různých takto vytvořených zmrzlinových kornoutů, jestliže se již vybraný druh zmrzliny
nemůže opakovat resp. může opakovat.
(b) Dále vybíráme do misky, kam jsou kopečky umísťovány bez ohledu na pořadí. Určete počet
různých takto vytvořených misek se zmrzlinou, jestliže se již vybraný druh zmrzliny nemůže
opakovat resp. může opakovat.
2. (3 body) Náhodné jevy.
(a) Napište definici nezávislosti náhodných jevů A a B.
(b) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(c) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet alespoň 8 za podmínky, že
na první kostce padlo číslo 5.
3. (3 body) Elementární geometrie. Určete matice následujících lineárních zobrazení v prostoru R2
:
(a) otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(b) zrcadlení vzhledem k ose y,
(c) projekce na osu y,
(d) složené zobrazení otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení vzhledem k ose y,
(e) složené zobrazení projekce na osu y a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru,
(f) složené zobrazení projekce na osu y a poté otočení o úhel π
2
v kladném směru a poté zrcadlení
vzhledem k ose y.
4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte lineární systém
4x1 + 3x2 − 2x3 = 12,
2x1 − x2 = 6,
x1 + x2 + r x3 = 3,
x1 + 2x2 − x3 = 3,
a proveďte diskusi řešení vzhledem
k hodnotám parametru r ∈ R.
5. (3 body) Determinant. Výpočtem determinantu (jinou metodu neuznám) rozhodněte o lineární
(ne)závislosti vektorů (t ∈ R je parametr):
u1 = t t 0 0 , u3 = 1 1 1 1 ,
u2 = 1 0 −1 0 , u4 = t 3 2 4 .
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 matic řádu 2 a v něm množinu U takových matic, které
mají součin prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součin prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je U vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
(b) Uvažujme vektorový prostor Mat3×3 matic řádu 3 a v něm množinu V takových matic, které
mají součet prvků v každém jednotlivém řádku roven 0 a současně mají součet prvků v každém
jednotlivém sloupci roven 0. Určete, jestli je V vektorový podprostor v prostoru Mat3×3 a pokud
ano, určete nějakou jeho bázi a jeho dimenzi.
7. (5 bodů) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
D =




0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 0 1




(včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice D
matice A a determinant matice D−1
(pokud D−1
existuje).
8. (4 body) Iterované procesy. Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
a předměstí. Analyzujte změny v městské a příměstské populaci (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže
se každý rok přestěhuje 10% městské populace do předměstí a 5% příměstské populace do města.