FI: PODZIM 2009 2 Skupina A
Zkouška MB101, pátek 22.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Z číslic 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 6 náhodně vybereme čtyři číslice a umístíme vedle
sebe. Jaká je pravděpodobnost, že tímto způsobem dostaneme číslo 2442?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet 5 až 8 za podmínky, že na
první kostce padlo číslo 3 nebo 4.
3. (3 body) Relace.
(a) Definujte pojmy kartézský součin množin A a B, relace mezi množinami A a B, relace na
množině A.
(b) Definujte reflexivní relaci, symetrickou relaci, tranzitivní relaci, relaci uspořádání na A.
(c) Uveďte příklad relace na množině {1, 2, 3, 4}, která (i) není reflexivní, (ii) je reflexivní a současně
není symetrická, (iii) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem
prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami.
4. (4 body) Lineární rovnice.
(a) Definujte pojem hodnosti matice A.
(b) Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti.
(c) Určete hodnosti následujících matic:
A = ( 1
1 ) , B = ( 1 1
1 0 ) , C = ( 1 1
1 1 ) , D = ( 1 1 0
1 1 0 ) , E je regulární řádu n, F =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
.
5. (4 body) Determinant. Následující lineární systém s parametrem a ∈ R vyřešte Kramerovým
pravidlem (jiná metoda nebude uznána). Pro které hodnoty a ∈ R tuto metodu nelze použít?
x1 + 2 x2 + x3 = −1,
x1 + a x2 + 2 x3 = 1,
2 x1 + x2 + 3 x3 = 1.
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Napište definici jádra (obecné) matice A ∈ Matm×n.
(b) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra matice
A =




1 0 1 0
−2 1 0 3
1 1 3 3
0 2 4 6



 .
(c) Určete nějakou ortogonální bázi jádra matice A.
(d) Určete vektor v v jádru matice A, který je nejblíže
k vektoru w = 2 2 0 4
T
a tuto nejmenší vzdálenost
vektoru w od vektoru v (tj. od jádra matice A) spočítejte.
7. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A =


4 4 2
0 2 0
−1 −2 1

 .
(b) Určete nějakou bázi v = (v1, v2, v3) prostoru R3
složenou z vlastních vektorů matice A. Určete
také matici lineárního zobrazení, které je dáno maticí A, v bázi v složené z vlastních vektorů.
8. (3 body) Iterované procesy. Pražská oblast má cca 1200 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
(centrum), severní předměstí a jižní předměstí. Každý rok se z centra přestěhuje 3% obyvatel na
sever a 10% obyvatel na jih, ze severu se přestěhuje 4% obyvatel do centra a 6% obyvatel na jih a z
jihu se přestěhuje 5% obyvatel do centra a 5% obyvatel na sever. Zapište tento model v maticovém
tvaru a (svými slovy) popište postup, jak by se počítal dlouhodobý efekt tohoto typu stěhování.
Tento postup ale dále neprovádějte.
FI: PODZIM 2009 2 Skupina B
Zkouška MB101, pátek 22.1.2010, 8:00–10:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Z číslic 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 náhodně vybereme čtyři číslice a umístíme vedle
sebe. Jaká je pravděpodobnost, že tímto způsobem dostaneme číslo 3223?
2. (4 body) Pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) Házíme dvakrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že padne součet 6 až 9 za podmínky, že na
první kostce padlo číslo 1 nebo 3.
3. (3 body) Relace.
(a) Definujte pojmy kartézský součin množin A a B, relace mezi množinami A a B, relace na
množině A.
(b) Definujte reflexivní relaci, antisymetrickou relaci, tranzitivní relaci, relaci ekvivalence na A.
(c) Uveďte příklad relace na množině {a, b, c, d}, která (i) není reflexivní, (ii) je reflexivní a současně
není symetrická, (iii) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem
prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami.
4. (4 body) Lineární rovnice.
(a) Definujte pojem hodnosti matice A.
(b) Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti.
(c) Určete hodnosti následujících matic:
A = ( 2
3 ) , B = ( 2 2
2 2 ) , C = ( 0 2
2 2 ) , D = ( 2 0 2
2 0 2 ) , E je regulární řádu m, F =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
.
5. (4 body) Determinant. Následující lineární systém s parametrem b ∈ R vyřešte Kramerovým
pravidlem (jiná metoda nebude uznána). Pro které hodnoty b ∈ R tuto metodu nelze použít?
x1 + 2 x2 + x3 = 3,
x1 + x2 + 2 x3 = 1,
2 x1 + x2 + b x3 = 1.
6. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Napište definici jádra (obecné) matice B ∈ Matm×n.
(b) Určete nějakou bázi a dimenzi jádra matice
B =




1 0 1 0
1 1 3 3
0 2 4 6
−2 1 0 3



 .
(c) Určete nějakou ortogonální bázi jádra matice B.
(d) Určete vektor v v jádru matice B, který je nejblíže
k vektoru w = 0 2 −2 4
T
a tuto nejmenší vzdálenost
vektoru w od vektoru v (tj. od jádra matice B) spočítejte.
7. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B =


5 4 6
0 3 0
−1 −2 0

 .
(b) Určete nějakou bázi w = (w1, w2, w3) prostoru R3
složenou z vlastních vektorů matice B. Určete
také matici lineárního zobrazení, které je dáno maticí B, v bázi w složené z vlastních vektorů.
8. (3 body) Iterované procesy. Pražská oblast má cca 1200 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město
(centrum), severní předměstí a jižní předměstí. Každý rok se z centra přestěhuje 10% obyvatel na
sever a 3% obyvatel na jih, ze severu se přestěhuje 5% obyvatel do centra a 5% obyvatel na jih a z
jihu se přestěhuje 4% obyvatel do centra a 6% obyvatel na sever. Zapište tento model v maticovém
tvaru a (svými slovy) popište postup, jak by se počítal dlouhodobý efekt tohoto typu stěhování.
Tento postup ale dále neprovádějte.