FI: PODZIM 2008 2 Skupina A
Zkouška MB101, úterý 27.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (3 body) Kombinatorika. Pět hostů přišlo do restaurace a své kloubouky odložili na věšák. Při
odchodu si všichni berou zpět tyto klobouky náhodně. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden
host nebude mít svůj vlastní klobouk.
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme třemi kostkami současně. Označme náhodné
jevy
A = na všech kostkách padne sudé číslo,
B = padne součet 8.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů A a B, jejich společného nastoupení, jejich sjednocení,
nastoupení jevu A za podmínky B, nastoupení jevu B za podmínky A.
3. (3 body) Relace a zobrazení. Uvažujme množiny A = {1, 2, 3, 4} a B = {a, b, c, d} a relaci mezi
těmito množinami
R = [1, d], [2, a], [2, b], [3, c], [4, c] ⊆ A × B.
(a) Určete, jestli je relace R zobrazení a pokud ano, jestli je toto zobrazení surjektivní a/nebo
injektivní.
(b) Určete relaci inverzní R−1
⊆ B × A a rozhodněte, jestli je tato inverzní relace R−1
zobrazení.
(c) Určete složenou relaci R−1
◦ R ⊆ A × A a rozhodněte, jestli je tato složená relace reflexivní,
symetrická, tranzitivní, ekvivalence.
4. (4 body) Lineární rovnice. Následující lineární systém
x1 + x2 = −3,
x1 + x2 = −1,
x1 + x3 = 0,
x1 + x3 = 2,
x1 + x4 = 5,
x1 + x4 = 1.
zřejmě nemá řešení (např. srovnáním
prvních dvou rovnic). Určete řešení
tohoto systému metodou nejmenších
čtverců.
5. (3 body) Uvažujme vektory
u1 = 1 −2 2 0 , u3 = 1 −2 2 3 ,
u2 = −1 1 0 0 , u4 = 2 −5 t 3 .
kde t ∈ R. Určete, pro které hodnoty t je vektor u4 lineární kombinací vektorů u1, u2, u3.
6. (4 body) V tomto příkladu používáme vektory u1, u2, u3, u4 z Příkladu 5.
(a) Určete hodnost matice U, jejímiž řádky jsou vektory u1, u2, u3, u4 (v závislosti na hodnotě
parametru t).
(b) Formulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti.
(c) Na základě Frobeniovy věty rozhodněte, zda má lineární systém s maticí U a pravou stranou
b = (2, 1, 1, 2)T
nějaké řešení.
7. (4 body) V tomto příkladu používáme vektory u1, u2, u3, u4 z Příkladu 5.
(a) Pomocí Gram–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi podprostoru V , který je generován
vektory u1, u2, u3.
(b) Určete souřadnice vektoru u4 (pro hodnotu parametru t z Příkladu 5) vzhledem k bázi, kterou
jste určili v části (a) tohoto příkladu.
(c) Určete bázi a dimenzi ortogonálního doplňku V ⊥
k podprostoru V v R4
.
8. (5 bodů) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (liška–králík)
je vztah mezi počtem lišek (Lk) a králíků (Kk) v daném a následujícím měsíci následovný:
Lk+1 = 0.6 Lk + 0.5 Kk,
Kk+1 = −0.16 Lk + 1.2 Kk,
přičemž počáteční počet lišek a králíků je L0 = 50 a K0 = 100. Pomocí tohoto modelu analyzujte
stav této populace z dlouhodobého hlediska.
FI: PODZIM 2008 2 Skupina B
Zkouška MB101, úterý 27.1.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (3 body) Kombinatorika. Šest hostů přišlo do restaurace a své kloubouky odložili na věšák. Při
odchodu si všichni berou zpět tyto klobouky náhodně. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden
host nebude mít svůj vlastní klobouk.
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme třemi kostkami současně. Označme náhodné
jevy
A = na všech kostkách padne liché číslo,
B = padne součet 7.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů A a B, jejich společného nastoupení, jejich sjednocení,
nastoupení jevu A za podmínky B, nastoupení jevu B za podmínky A.
3. (3 body) Relace a zobrazení. Uvažujme množiny A = {1, 2, 3, 4} a B = {a, b, c, d} a relaci mezi
těmito množinami
R = [1, d], [2, a], [2, b], [3, c], [4, c] ⊆ A × B.
(a) Určete, jestli je relace R zobrazení a pokud ano, jestli je toto zobrazení surjektivní a/nebo
injektivní.
(b) Určete relaci inverzní R−1
⊆ B × A a rozhodněte, jestli je tato inverzní relace R−1
zobrazení.
(c) Určete složenou relaci R ◦ R−1
⊆ B × B a rozhodněte, jestli je tato složená relace reflexivní,
symetrická, tranzitivní, ekvivalence.
4. (4 body) Lineární rovnice. Následující lineární systém
x1 + x2 = −3,
x1 + x2 = −1,
x1 + x3 = 0,
x1 + x3 = 2,
x1 + x4 = 5,
x1 + x4 = 1.
zřejmě nemá řešení (např. srovnáním
prvních dvou rovnic). Určete řešení
tohoto systému metodou nejmenších
čtverců.
5. (3 body) Uvažujme vektory
u1 = 1 −2 2 0 , u3 = 1 −2 2 3 ,
u2 = −1 1 0 0 , u4 = 2 t 6 3 .
kde t ∈ R. Určete, pro které hodnoty t je vektor u4 lineární kombinací vektorů u1, u2, u3.
6. (4 body) V tomto příkladu používáme vektory u1, u2, u3, u4 z Příkladu 5.
(a) Určete hodnost matice U, jejímiž řádky jsou vektory u1, u2, u3, u4 (v závislosti na hodnotě
parametru t).
(b) Formulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti.
(c) Na základě Frobeniovy věty rozhodněte, zda má lineární systém s maticí U a pravou stranou
b = (2, 1, 1, 2)T
nějaké řešení.
7. (4 body) V tomto příkladu používáme vektory u1, u2, u3, u4 z Příkladu 5.
(a) Pomocí Gram–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi podprostoru V , který je generován
vektory u1, u2, u3.
(b) Určete souřadnice vektoru u4 (pro hodnotu parametru t z Příkladu 5) vzhledem k bázi, kterou
jste určili v části (a) tohoto příkladu.
(c) Určete bázi a dimenzi ortogonálního doplňku V ⊥
k podprostoru V v R4
.
8. (5 bodů) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (liška–králík)
je vztah mezi počtem lišek (Lk) a králíků (Kk) v daném a následujícím měsíci následovný:
Lk+1 = 0.6 Lk + 0.5 Kk,
Kk+1 = −0.16 Lk + 1.2 Kk,
přičemž počáteční počet lišek a králíků je L0 = 60 a K0 = 120. Pomocí tohoto modelu analyzujte
stav této populace z dlouhodobého hlediska.