FI: PODZIM 2009 3 Skupina A Zkouška MB101, čtvrtek 4.2.2010, 8:00–10:00 hodin 1. (4 body) Kombinatorika. Čtěte pozorně (rozlišitelné/nerozlišitelné)! Uvažte, že lze umístit více koulí do jedné přihrádky. Kolika způsoby lze rozdělit (a) 3 rozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (b) 3 nerozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (c) 3 rozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? (d) 3 nerozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? 2. (4 body) Pravděpodobnost. (a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B. (b) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na první kostce padne liché číslo za podmínky, že celkem padne součet 15 nebo 16. [Nápověda: Určete nejprve všechny možnosti, jak dostat součet 15 nebo 16 ze tří kostek.] 3. (3 body) Relace. (a) Definujte pojmy kartézský součin množin A a B, relace mezi množinami A a B, relace na množině A. (b) Definujte reflexivní relaci, symetrickou relaci, tranzitivní relaci, relaci uspořádání na A. (c) Uveďte příklad relace na množině {1, 2, 3, 4}, která (i) není reflexivní, (ii) je reflexivní a současně není symetrická, (iii) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami. 4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte následující lineární systém a proveďte diskusi řešení vzhledem hodnotám parametru a ∈ R (tj. pro které hodnoty parametru a řešení neexistuje nebo existuje a tato řešení určete: −4x1 − 3x2 − 2x3 − x4 = a + x2 + 2x3 + 3x4 = 2, 4x1 + 5x2 + 6x3 + 7x4 = 2, 8x1 + 9x2 + 10x3 + 11x4 = 2. 5. (4 body) Determinant. Uvažujme matici A =     2 −2 0 0 0 3 0 0 −1 −2 3 0 0 0 0 1     . Určete determinant matice A. Rozhodněte, jestli je matice A regulární. Pokud ano, určete determinant inverzní matice k matici A. 6. (4 body) Vlastní hodnoty. (a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice A z minulého příkladu a příslušné algebraické a geometrické násobnosti vlastních hodnot. Určete vlastní hodnoty matice A−1 . Rozhodněte a zdůvodněte, jestli jsou matice A a A−1 pozitivně (semi)definitní, negativně semi(definitní). Určete matice P a D v diagonalizovaném tvaru matice A = PDP−1 (matici P−1 nepočítejte). (b) Porovnejte stopu matice A se součtem jejích vlastních hodnot a determinant matice A se součinem jejích vlastních hodnot. Určete stopu matice A−1 . 7. (4 body) Vektorové prostory. Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 čtvercových matic řádu 2 (a) Určete nějakou bázi tohoto vektorového prostoru a jeho dimenzi. Ověřte, že Vámi vybraná množina prvků báze je skutečně lineárně nezávislá. Určete souřadnice matice M = ( 2 1 1 2 ) ve Vámi zvolené bázi. (b) Buď W ⊆ Mat2×2 podmnožina takových matic, které mají součet prvků na hlavní diagonále roven nule a současně mají součet prvků na vedlejší diagonále roven nule. Rozhodněte, jestli je množina W vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud ano, určete bázi a dimenzi W. 8. (3 body) Iterované procesy. Pražská oblast má 1200 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město (centrum) a severní a jižní předměstí. Každý rok se z centra přestěhuje 5% obyvatel na sever a 8% obyvatel na jih, ze severu se přestěhuje 10% obyvatel do centra a 2% obyvatel na jih a z jihu se přestěhuje 10% obyvatel do centra a 5% obyvatel na sever. Zapište tento model v maticovém tvaru. Rozhodněte, jestli je matice procesu stochastická a (bez výpočtu) určete jednu její vlastní hodnotu. FI: PODZIM 2009 3 Skupina B Zkouška MB101, čtvrtek 4.2.2010, 8:00–10:00 hodin 1. (4 body) Kombinatorika. Čtěte pozorně (rozlišitelné/nerozlišitelné)! Uvažte, že lze umístit více koulí do jedné přihrádky. Kolika způsoby lze rozdělit (a) 3 rozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (b) 3 nerozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (c) 3 rozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? (d) 3 nerozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? 2. (4 body) Pravděpodobnost. (a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B. (b) Házíme třikrát kostkou. Určete pravděpodobnost, že na první kostce padne liché číslo za podmínky, že celkem padne součet 5 nebo 6. [Nápověda: Určete nejprve všechny možnosti, jak dostat součet 5 nebo 6 ze tří kostek.] 3. (3 body) Relace. (a) Definujte pojmy kartézský součin množin A a B, relace mezi množinami A a B, relace na množině A. (b) Definujte reflexivní relaci, antisymetrickou relaci, tranzitivní relaci, relaci ekvivalence na A. (c) Uveďte příklad relace na množině {a, b, c, d}, která (i) není reflexivní, (ii) je reflexivní a současně není symetrická, (iii) je symetrická a současně není tranzitivní. Příklady uveďte buď výčtem prvků relace nebo tabulkou nebo obrázkem (grafem) relace s orientovanými šipkami. 4. (4 body) Lineární rovnice. Metodou Gaussovy eliminace vyřešte následující lineární systém a proveďte diskusi řešení vzhledem hodnotám parametru a ∈ R (tj. pro které hodnoty parametru a řešení neexistuje nebo existuje a tato řešení určete: −4x1 − 3x2 − 2x3 − x4 = a + x2 + 2x3 + 3x4 = −6, 4x1 + 5x2 + 6x3 + 7x4 = −2, 8x1 + 9x2 + 10x3 + 11x4 = 2. 5. (4 body) Determinant. Uvažujme matici B =     1 −2 2 0 0 2 0 0 −1 −2 4 0 0 0 0 1     . Určete determinant matice B. Rozhodněte, jestli je matice B regulární. Pokud ano, určete determinant inverzní matice k matici B. 6. (4 body) Vlastní hodnoty. (a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice B z minulého příkladu a příslušné algebraické a geometrické násobnosti vlastních hodnot. Určete vlastní hodnoty matice B−1 . Rozhodněte a zdůvodněte, jestli jsou matice B a B−1 pozitivně (semi)definitní, negativně semi(definitní). Určete matice P a D v diagonalizovaném tvaru matice B = PDP−1 (matici P−1 nepočítejte). (b) Porovnejte stopu matice B se součtem jejích vlastních hodnot a determinant matice B se součinem jejích vlastních hodnot. Určete stopu matice B−1 . 7. (4 body) Vektorové prostory. Uvažujme vektorový prostor Mat2×2 čtvercových matic řádu 2 (a) Určete nějakou bázi tohoto vektorového prostoru a jeho dimenzi. Ověřte, že Vámi vybraná množina prvků báze je skutečně lineárně nezávislá. Určete souřadnice matice M = ( 2 1 1 2 ) ve Vámi zvolené bázi. (b) Buď W ⊆ Mat2×2 podmnožina takových matic, které mají součet prvků na hlavní diagonále roven nule a současně mají součet prvků na vedlejší diagonále roven nule. Rozhodněte, jestli je množina W vektorový podprostor v prostoru Mat2×2 a pokud ano, určete bázi a dimenzi W. 8. (3 body) Iterované procesy. Pražská oblast má 1200 tisíc obyvatel, což zahrnuje vlastní město (centrum) a severní a jižní předměstí. Každý rok se z centra přestěhuje 5% obyvatel na sever a 8% obyvatel na jih, ze severu se přestěhuje 10% obyvatel do centra a 2% obyvatel na jih a z jihu se přestěhuje 10% obyvatel do centra a 5% obyvatel na sever. Zapište tento model v maticovém tvaru. Rozhodněte, jestli je matice procesu stochastická a (bez výpočtu) určete jednu její vlastní hodnotu.