FI: PODZIM 2008 3 Skupina A
Zkouška MB101, středa 4.2.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (2 body) Kombinatorika. Máme k dispozici písmena A, A, A, E, I, K, M, M, T, T. Určete kolik
různých desetipísmenných slov (nemusí dávat smysl) lze z těchto písmen poskládat? Jaká je
pravděpodobnost, že při náhodném složení vznikne slovo MATEMATIKA?
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme třemi kostkami současně. Označme náhodné
jevy
A = na všech kostkách padne sudé číslo,
B = padne součet 8,
C = na všech kostkách padne nejvýše čtyřka.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů A a B a C, jejich společného nastoupení, jejich sjednocení.
3. (3 body) Relace. Uvažujme množinu A = {1, 2, 3, 4} na ní dvě relace:
R := [a, b] patří do relace R, pokud je součet a + b sudé číslo,
S := [a, b] patří do relace S, pokud je součin a · b liché číslo.
Určete, jestli jsou tyto dvě relace reflexivní, symetrické, antisymetrické, tranzitivní, ekvivalence,
uspořádání.
4. (4 body) Lineární rovnice. Určete nejlepší lineární aproximaci (regresní přímku) a kvadratickou
aproximaci následujících dat:
[−1, −1], [0, 0], [1, 0], [2, 2].
5. (4 body) Determinant. Vypočtěte následující determinanty
1 1 0
2 0 2
0 3 3
,
1 1 1 0
2 2 0 2
3 0 3 3
0 4 4 4
,
1 1 1 1 0
2 2 2 0 2
3 3 0 3 3
4 0 4 4 4
0 5 5 5 5
.
6. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A =


0 2 2
2 0 2
2 2 0

 (včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice A.
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Definujte pojmy báze a dimenze (konečněrozměrného) vektorového prostoru.
(b) Pomocí Gram–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi v = (v1, v2, v3) prostoru R3
, která je
složena z vlastních vektorů matice A z Příkladu 6.
(c) Určete souřadnice vektoru u = (1, 2, 9) vzhledem k této ortogonální bázi v.
8. (5 bodů) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (sova–veverka)
je vztah mezi počtem sov (Sk) a veverek (Vk) v daném a následujícím měsíci následovný:
Sk+1 = 0.4 Sk + 0.6 Vk,
Vk+1 = −0.3 Sk + 1.3 Vk,
přičemž počáteční počet sov a veverek je S0 = 50 a V0 = 60. Pomocí tohoto modelu analyzujte stav
této populace z dlouhodobého hlediska.
FI: PODZIM 2008 3 Skupina B
Zkouška MB101, středa 4.2.2009, 8:00–10:00 hodin
1. (2 body) Kombinatorika. Máme k dispozici písmena A, A, A, E, I, K, M, M, T, T. Určete kolik
různých desetipísmenných slov (nemusí dávat smysl) lze z těchto písmen poskládat? Jaká je
pravděpodobnost, že při náhodném složení vznikne slovo MATEMATIKA?
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme třemi kostkami současně. Označme náhodné
jevy
A = na všech kostkách padne liché číslo,
B = padne součet 7,
C = na všech kostkách padne alespoň trojka.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů A a B a C, jejich společného nastoupení, jejich sjednocení.
3. (3 body) Relace. Uvažujme množinu A = {1, 2, 3, 4} na ní dvě relace:
S := [a, b] patří do relace S, pokud je součet a + b sudé číslo,
R := [a, b] patří do relace R, pokud je součin a · b liché číslo.
Určete, jestli jsou tyto dvě relace reflexivní, symetrické, antisymetrické, tranzitivní, ekvivalence,
uspořádání.
4. (4 body) Lineární rovnice. Určete nejlepší lineární aproximaci (regresní přímku) a kvadratickou
aproximaci následujících dat:
[−1, −1], [0, 0], [1, 0], [2, 2].
5. (4 body) Determinant. Vypočtěte následující determinanty
3 3 0
2 0 2
0 1 1
,
4 4 4 0
3 3 0 3
2 0 2 2
0 1 1 1
,
5 5 5 5 0
4 4 4 0 4
3 3 0 3 3
2 0 2 2 2
0 1 1 1 1
.
6. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B =


2 2 0
2 0 2
0 2 2

 (včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů).
Pomocí vlastních hodnot určete determinant matice B.
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Definujte pojmy báze a dimenze (konečněrozměrného) vektorového prostoru.
(b) Pomocí Gram–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi v = (v1, v2, v3) prostoru R3
, která je
složena z vlastních vektorů matice B z Příkladu 6.
(c) Určete souřadnice vektoru u = (1, 2, 9) vzhledem k této ortogonální bázi v.
8. (5 bodů) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (sova–veverka)
je vztah mezi počtem sov (Sk) a veverek (Vk) v daném a následujícím měsíci následovný:
Sk+1 = 0.4 Sk + 0.6 Vk,
Vk+1 = −0.3 Sk + 1.3 Vk,
přičemž počáteční počet sov a veverek je S0 = 60 a V0 = 80. Pomocí tohoto modelu analyzujte stav
této populace z dlouhodobého hlediska.