FI: JARO 2011 1 Skupina A
Zkouška MB101, čtvrtek 2.6.2011, 8:00–10:00 hodin
1. (3 body) Kombinatorika. Při karetní hře ”Prší” se rozdává 5 karet z balíčku 32 karet (4 barvy,
každá barva má 8 karet s hodnotami 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A). Kolik je možností, ve kterých dostaneme
do ruky (a) pět karet s různou hodnotou (na barvě nezáleží)? (b) pět karet stejné barvy? (c) dvě
esa, dva krále a jednu dámu?
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme dvěma kostkami současně. Označme
A = na všech kostkách padne sudé číslo,
B = padne součet nejvýše 6.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů A a B, jejich společného nastoupení (A ∩ B) a jejich
sjednocení (A ∪ B).
3. (3 body) Relace. Na množině X = {2, 4, 8, 10, 16, 20, 24, 40} mějme relaci R zadánu takto: číslo m
je v relaci s číslem n pokud je zlomek m
n
přirozené číslo. Pomocí orientovaných šipek (podle pravidla
m → n, pokud je m v relaci s n) dokreslete níže graf této relace. Dále rozhodněte, jestli je tato
relace reflexivní, symetrická, tranzitivní, antisymetrická, ekvivalence, uspořádání.
4. (4 body) Lineární rovnice. Následující lineární systém
x1 + x3 = 2,
x1 + x3 = −1,
x1 + x2 = 3,
x1 + x2 = 7,
zřejmě nemá řešení (např. srovnáním prvních dvou rovnic).
Určete řešení tohoto systému metodou nejmenších čtverců.
Dále určete nejmenší možnou vzdálenost mezi levou a
pravou stranou tohoto lineárního systému.
5. (4 body) Determinant. Uvažujme vektory
u1 = ( 1, 1, 1, 1 ), u2 = ( 1, 0, a, 0 ), u3 = ( −1, 8, 1, 0 ), u4 = ( −2, a, 8, −5 ).
Pomocí determinantu určete všechny hodnoty parametru a ∈ R tak, aby byly vektory u1, u2, u3, u4
lineárně závislé. Pokud bude potřeba, použijte
√
1296 = 36.
6. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A =


−1 12 6
0 −1 0
0 6 2

 ,
včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů.
Dále určete vlastní hodnoty, determinant a stopu matice A−1
.
7. (4 body) Vektorové prostory. Ve vektorovém prostoru matic Mat2×2 mějme podprostor W generovaný
maticemi
U1 =
1 1
1 1
, U2 =
1 0
3 0
, U3 =
−1 8
1 0
.
Pomocí Grammova–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi V = (V1, V2, V3) podprostoru W.
Poté určete souřadnice matice X = −2 3
8 −5 ∈ W vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi V .
8. (4 body) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (sova–myš)
je vztah mezi počtem sov (Sk) a počtem myší (Mk) v daném a následujícím období následovný:
Sk+1 = 0.4 Sk + 0.1 Mk,
Mk+1 = −0.6 Sk + 1.1 Mk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že
počáteční počet sov a myší je S0 = 10 a M0 = 110.
FI: JARO 2011 1 Skupina B
Zkouška MB101, čtvrtek 2.6.2011, 8:00–10:00 hodin
1. (3 body) Kombinatorika. Při karetní hře ”Prší” se rozdává 5 karet z balíčku 32 karet (4 barvy,
každá barva má 8 karet s hodnotami 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A). Kolik je možností, ve kterých dostaneme
do ruky (a) pět karet s různou hodnotou (na barvě nezáleží)? (b) pět karet stejné barvy? (c) dvě
dámy, dva krále a jedno eso?
2. (4 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost. Házíme dvěma kostkami současně. Označme
C = na všech kostkách padne liché číslo,
D = padne součet alespoň 8.
Určete pravděpodobnosti náhodných jevů C a D, jejich společného nastoupení (C ∩ D) a jejich
sjednocení (C ∪ D).
3. (3 body) Relace. Na množině Y = {2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 40} mějme relaci R zadánu takto: číslo m je
v relaci s číslem n pokud je zlomek m
n
přirozené číslo. Pomocí orientovaných šipek (podle pravidla
m → n, pokud je m v relaci s n) dokreslete níže graf této relace. Dále rozhodněte, jestli je tato
relace reflexivní, symetrická, tranzitivní, antisymetrická, ekvivalence, uspořádání.
4. (4 body) Lineární rovnice. Následující lineární systém
x1 + x3 = 5,
x1 + x3 = 1,
x1 + x2 = −2,
x1 + x2 = 1,
zřejmě nemá řešení (např. srovnáním prvních dvou rovnic).
Určete řešení tohoto systému metodou nejmenších čtverců.
Dále určete nejmenší možnou vzdálenost mezi levou a
pravou stranou tohoto lineárního systému.
5. (4 body) Determinant. Uvažujme vektory
u1 = ( 1, 1, 1, 1 ), u2 = ( 1, 0, 3, 0 ), u3 = ( 2, b, 0, 1 ), u4 = ( 3, −2, b, 6 ).
Pomocí determinantu určete všechny hodnoty parametru b ∈ R tak, aby byly vektory u1, u2, u3, u4
lineárně závislé. Pokud bude potřeba, použijte
√
144 = 12.
6. (4 body) Vlastní hodnoty. Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B =


−1 16 8
0 −1 0
0 8 3

 ,
včetně báze a dimenze příslušných vlastních podprostorů.
Dále určete vlastní hodnoty, determinant a stopu matice B−1
.
7. (4 body) Vektorové prostory. Ve vektorovém prostoru matic Mat2×2 mějme podprostor W generovaný
maticemi
U1 =
1 1
1 1
, U2 =
1 0
3 0
, U3 =
2 5
0 1
.
Pomocí Grammova–Schmidtova procesu určete ortogonální bázi V = (V1, V2, V3) podprostoru W.
Poté určete souřadnice matice Y = ( 3 −2
5 6 ) ∈ W vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi V .
8. (4 body) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec–kořist (sova–myš)
je vztah mezi počtem sov (Sk) a počtem myší (Mk) v daném a následujícím období následovný:
Sk+1 = 0.4 Sk + 0.1 Mk,
Mk+1 = −0.6 Sk + 1.1 Mk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že
počáteční počet sov a myší je S0 = 40 a M0 = 190.