FI: JARO 2011
Skupina A
Zkouška MB101, středa 15.6.2011, 9:00-11:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Házíme 4x kostkou (šest stran, hodnoty 1,2,. ..,6). Kolik je možností, že padnou (a) různá čísla, (b) právě dvě stejná a dvě jiná čísla, (c) postupně čísla 1,2,2,3?
2. (3 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost.
(a) Napište definici geometrické pravděpodobnosti.
(b) Každý ze dvou parníků může doplout do přístavu vždy jednou za den, a to se stejnou pravděpodobností v kterýkoli jeho okamžik. V přístavu může být v jeden okamžik pouze jeden parník. První parník se v přístavišti zdrží 2 hodiny a druhý parník 3 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že jeden parník bude muset čekat, až druhý opustí přístaviště?
= [2, 2], B = [-1,1], C = [-3, -1], D = [1, -2], E = [3, 0]
i2, které popisuje otočení o úhel | v kladném směru, kterým je složené zobrazení projekce na osu x a poté
(4 body) Elementární geometrie.
(a) Které hrany pětiúhelníku s vrcholy A jsou viditelné z bodu X = [5, 5]?
(b) Určete matici lineárního zobrazení v
(c) Určete matici lineárního zobrazení v otočení o úhel | v kladném směru.
(4 body) Lineární rovnice.
(a) Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti matice.
(b) V závislosti na parametru a G IR vyřešte následující lineární systém
X\   +   3rr2 + X3 + 2rr4 = 1,
2xi   +  ax2 + x3 + 2x4 = 1)
2x2 + x3 =1,
X\   +     x2 + 2rr3 + rr4 = 1.
5. (3 body) Determinant.
(a) Vypočtěte determinant matice
(b) Bez počítání určete determinant matice
/O
2 0 0
i
0
3
1
-1
3 -1
1 3
2
-1 o\
0 0
2 2
0 1
0 3/
o
1
2
1
2
3 3
0 0 0 0 2 \0  0  0  0 0
1 1
2 2 0 0 3 3 0  0  0 3
2
3 3 2
1/
6. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
A
(b) Je matice A diagonalizovatelná?
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Rozhodněte, zda množina V = (M,+,-).
{(x,y) G IR2 : xy > 0} tvoří vektorový podprostor prostoru
(b) Uvažujme vektorový prostor matic Mat2X2- Určete bázi a dimenzi vektorového podprostoru W generovaného maticemi
1   l) '   Ua = VO   l) '   Ub= \2 0
1 1
2 2
f/2
0
-1
c) Určete bázi ortogonálního doplňku podprostoru W, tj. podprostoru WL.
8. (4 body) Iterované procesy. V ČR je cca 700 tisíc fotbalistů, což zahrnuje profesionální i amatérské fotbalisty. Analyzujte změny v počtech amatérských a profesionálních hráčů (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže každý rok získá 15% amatérských fotbalistů status profesionála a 10% profesionálních hráčů se stane zpět amatéry.
FI: JARO 2011
Skupina B
Zkouška MB101, středa 15.6.2011, 9:00-11:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Házíme 4x kostkou (šest stran, hodnoty 1,2,. ..,6). Kolik je možností, že padnou (a) různá čísla, (b) právě dvě stejná a dvě jiná čísla, (c) postupně čísla 2,3,3,5?
2. (3 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost.
(a) Napište definici geometrické pravděpodobnosti.
(b) Každý ze dvou parníků může doplout do přístavu vždy jednou za den, a to se stejnou pravděpodobností v kterýkoli jeho okamžik. V přístavu může být v jeden okamžik pouze jeden parník. První parník se v přístavišti zdrží 4 hodiny a druhý parník 1 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že jeden parník bude muset čekat, až druhý opustí přístaviště?
= [2, 2], B = [-1,1], C = [-3, -1], D = [1, -2], E = [3, 0]
i2, které popisuje otočení o úhel | v kladném směru, kterým je složené zobrazení projekce na osu y a poté
(4 body) Elementární geometrie.
(a) Které hrany pětiúhelníku s vrcholy A jsou viditelné z bodu Y = [—3, —3]?
(b) Určete matici lineárního zobrazení v
(c) Určete matici lineárního zobrazení v otočení o úhel f v kladném směru.
o
(4 body) Lineární rovnice.
(a) Zformulujte Frobeniovu větu o řešitelnosti systému lineárních rovnic pomocí hodnosti matice.
(b) V závislosti na parametru a G IR vyřešte následující lineární systém
X\   +   3rr2 + %3 + 2rr4 = 2,
2xi   +  ax2 + x3 + 2x4 = 2,
2x2 + x3 =2,
X\   +     x2 + 2x3 + rr4 = 2.
5. (3 body) Determinant.
(a) Vypočtěte determinant matice
(b) Bez počítání určete determinant matice
/O
2 0 0
-i
0
3
1
-1
3 -1
1 3
2
-1 o\
0 0
2 2
0 1
0 3/
í1	1	1	1	1	
2	2	2	2	2	0
3	3	3	3	0	0
3	3	3	0	0	0
2	2	0	0	0	0
\l	0	0	0	0	oj
6. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Určete vlastní hodnoty a vlastní vektory matice
B
(b) Je matice A diagonalizovatelná?
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Rozhodněte, zda množina V = (M,+,-).
{(x,y) G IR2 : xy > 0} tvoří vektorový podprostor prostoru
(b) Uvažujme vektorový prostor matic Mat2X2- Určete bázi a dimenzi vektorového podprostoru W generovaného maticemi
2  2J'   U2=\-l     OJ'   ^(l   l)'   Ua=\\   l)'   ^ (2 0.
c) Určete bázi ortogonálního doplňku podprostoru W, tj. podprostoru WL.
8. (4 body) Iterované procesy. V ČR je cca 700 tisíc fotbalistů, což zahrnuje profesionální i amatérské fotbalisty. Analyzujte změny v počtech amatérských a profesionálních hráčů (a jejich dlouhodobý efekt), jestliže každý rok získá 20% amatérských fotbalistů status profesionála a 15% profesionálních hráčů se stane zpět amatéry.