FI: JARO 2011   LAJ Skupina A
Zkouška MB101, středa 22.6.2011, 9:00-11:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Jsou dány cifry 1,2,3,4,5 a žádná cifra se nesmí opakovat. Kolik je možné z těchto cifer vytvořit čísel, která jsou (a) sudá pětimístná, (b) pětimístná menší než 30000, (c) dvojmístná nebo třímístná?
2. (3 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) V krabici jsou 3 bílé a 2 černé koule. Vytáhneme dvě koule za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že jako první vytáhnu bílou a jako druhou černou kouli?
3. (3 body) Relace.
(a) Definujte pojmy relace, reflexivní relace, symetrické relace, tranzitivní relace a relace uspořádání na množině A.
(b) Mějme relaci na množině A = {1,2,3,4,5} danou následující tabulkou
	1	2	3	4	5
1	•		•		
2		•		•	
3	•		•		•
4				•	
5	•		•		•
Je tato relace reflexivní? Je tato relace symetrická? Je tato relace tranzitivní?
4. (4 body) Lineární rovnice. Pomocí metody nejmenších čtverců vypočtěte řešení soustavy
Xi   +   x2 = 1,
x2   +  x3 = 2,
x%   ~\- x^ = 3,
X\              +   x3   + rr4 = 4,
X\   +  x2 = 5.
5. (4 body) Determinant.
(a) Zformulujte Kramerovo pravidlo pro řešení soustavy Ax = b.
(b) Určete determinanty matic A, AT a A~ľ, kde
/0   -1   -1 -l\
1 0-1-1
A
1
1     0 -1 \i     1     1 0/
6. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Napište definici vlastního čísla a vlastního vektoru matice A.
/3  2 l\
(b) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A = I 2  6  2   . Je tato matice diagonalizovatelná?
\1  2 3/
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Je dán vektorový prostor IR3. Najděte nenulový vektor, který je kolmý na vektor u
(b) Pomocí Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi V_ podprostoru W C m4 generovaného vektory
(VuV2,V3)
(A
i
i
W
Uo
( i\
2 2
( A
i
i
Poté určete souřadnice vektoru X
G W
vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi V_.
8. (4 body) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec-kořist (vlk-zajíc) je vztah mezi počtem vlků (V&) a počtem zajíců (Zk) v daném a následujícím období následovný:
Vk+1 = 0.6Vk + 0.2 Zk, Zk+1 = -0AVk + 1.2 Zk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že počáteční počet sov a myší je Vq = 50 a Z0 = 210.
FI: JARO 2011   LAJ Skupina B
Zkouška MB101, středa 22.6.2011, 9:00-11:00 hodin
1. (4 body) Kombinatorika. Jsou dány cifry 1,2,3,4,5 a žádná cifra se nesmí opakovat. Kolik je možné z těchto cifer vytvořit čísel, která jsou (a) lichá pětimístná, (b) pětimístná končící dvojčíslím 21, (c) třímístná nebo čtyřmístná?
2. (3 body) Náhodné jevy a pravděpodobnost.
(a) Napište definici podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B.
(b) V krabici jsou 3 bílé a 2 černé koule. Vytáhneme dvě koule za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že jako první vytáhnu černou a jako druhou bílou kouli?
3. (3 body) Relace.
(a) Definujte pojmy relace, reflexivní relace, symetrické relace, tranzitivní relace a relace uspořádání na množině A.
(b) Mějme relaci na množině A = {1,2,3,4,5} danou následující tabulkou
	1	2	3	4	5
1	•		•		•
2		•		•	
3	•		•		•
4				•	
5	•		•		•
Je tato relace reflexivní? Je tato relace symetrická? Je tato relace tranzitivní?
4. (4 body) Lineární rovnice. Pomocí metody nejmenších čtverců vypočtěte řešení soustavy
Xi   +   x2 = 1,
x2   +  x3 = 2,
x%   ~\- x^ = 3,
X\   +  x2              + X4 = 4,
X\   +  x2 = 5.
5. (4 body) Determinant.
(a) Zformulujte Kramerovo pravidlo pro řešení soustavy Ax = b.
(b) Určete determinanty matic A, AT a A~ľ, kde
/ 0    1      1 l\
-10 11
A
1
-1 -1 o
6. (4 body) Vlastní hodnoty.
(a) Napište definici vlastního čísla a vlastního vektoru matice A.
/O  1 2\
(b) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A = I 1   1   1   . Je tato matice diagonalizovatelná?
\1  2 0/
7. (4 body) Vektorové prostory.
(a) Je dán vektorový prostor IR3. Najděte nenulový vektor, který je kolmý na vektor u
(b) Pomocí Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu určete ortogonální bázi V_ podprostoru W C m4 generovaného vektory
(VuV2,V3)
(A
1
1
W
Uo
( i\
2
2
( A
1
1
Poté určete souřadnice vektoru Y
G W
vzhledem k této vypočtené ortogonální bázi V_.
8. (4 body) Iterované procesy. Předpokládejme, že v populačním modelu dravec-kořist (vlk-zajíc) je vztah mezi počtem vlků (V&) a počtem zajíců (Zk) v daném a následujícím období následovný:
Vk+1 = 0.6Vk + 0.3 Zk, Zk+1 = -0AVk + 1.3 Zk.
Pomocí tohoto modelu analyzujte stav této populace z dlouhodobého hlediska za podmínky, že počáteční počet sov a myší je Vq = 20 a Z0 = 90.