Řešení třetí písemky
Skupina A, B
Příklad č. 1:
a) Část už byla v zadání:



































1
0
1
0
0
1
0
f . Dále lehce umíme spočítat



































































































1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
ff . A nakonec podle toho, co jsme právě
spočítali je



































































































1
0
2
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
ff .
Skupina B se liší pouze v a), postup je obdobný a výsledek je stejný.
b) Protože hledáme matici 34f , znamená to vzít první (druhý a třetí) vektor ze standardní báze,
zobrazit ho zobrazením f a podívat se jaké má souřadnice ve standardní bázi:










































































1
0
2
0
1
0
2
0
0
0
1
4
4


f , což přesně odpovídá obrazu vektoru










0
0
1
v zobrazení f. Tedy
dostáváme

















1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
34f . Jiná možnost jak získat tuto matici je   3434
id   ff ,
kde je báze









































0
1
0
,
1
1
0
,
1
0
1
 . Tedy
   








































































1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
111
101
001
100
011
101
011
011
110
001
100
011
101
011
idid
1
1
343434  fff
c) Najít předpis znamená najít obraz libovolného vektoru










z
y
x
. Opět lze využít linearitu
zobrazení f:































































































































zyx
z
zyx
z
zyxzyxf
z
y
x
f
2
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
d)

























































































111
211
212
212
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
1000
1100
0110
0011
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
1000
1100
1110
1111
)id()id(
1
1
1
3443443  fff
e)




















































































































0
0
0
0
2
0
0
0
0
Ker
cba
c
cba
c
c
b
a
c
b
a
f
c
b
a
f . Tedy řeším homogenní
systém 4 lineárních rovnic o třech neznámých 0,0,02,0  cbaccbac
pomocí řádkových úprav matice sytému:
































0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
~
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
. Z matice odečtu řešení
.0 cba Tedy jádro je .
0
0
0
Ker




















f













































































































































































































































































1
1
1
1
,
1
0
1
0
,
1
0
2
0
Span
,,
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
2
0
,,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,,:Im 3
RR
RR
cbacbacbacbaf
cba
c
b
a
f
s
r
q
p
c
b
a
f
c
b
a
s
r
q
p
f
A protože už z výpočtu jádra víme, že všechny tři tyto vektory jsou lineárně nezávislé, tvoří
bázi obrazu zobrazení f. (Kdyby nebyly lineárně nezávislé, tak bychom z nich nějakou bázi
vybrali.)
Příklad č. 2:
Hledáme souřadnice vektoru v bázi, tedy hledáme koeficienty takové, že, když nimi vynásobíme
prvky báze a tyto násobky sečteme, dostaneme zadaný vektor. Hledáme a, b a c tak, aby
     222
2131 xxcxbxaxx  . Po úpravách dostáváme rovnost dvou vektorů
      22
231 xcaxcbbaxx  . Dva polynomy jsou stejné, jestliže mají stejné
koeficienty u stejných mocnin x. Tedy dostáváme systém tří lineárních rovnic o třech neznámých
(musí mít právě jedno řešení, jinak by  nebyla báze): cacbba  1,3,21 . Řešíme
například maticově:



































6300
3110
1021
~
0120
3110
1021
~
1101
3110
1021
. Odečteme řešení
.2,1,3  cba Tedy hledané souřadnice jsou  












2
1
3
31 2
xx .
Skupina B se počítá úplně stejně (jen se mění pravá strana v matici systému) a vyjde
 











2
1
1
31 2
xx .
Příklad č. 3:
Jedná se o ověření podmínky neprázdnosti M, ověření uzavřenosti na součet vektorů (tedy, že součet
libovolných dvou vektorů z M je opět vektor z M) a uzavřenosti na skalární násobky (tedy, že
libovolný skalární násobek vektoru z M je také prvkem M). (Přičemž poslední dvě podmínky jsou
ekvivalentní s podmínkou MbyaxbaMyx  )(:R,, .)
1) M je neprázdná, neboť obsahuje například matici 





00
00
. (Skupina B stejně.)
2) Druhá podmínka neplatí. Uvážím například matice 





00
01
a 





00
10
, které patří do M,
protože splňují podmínku, aby do ní patřily. Ale jejich součet je matice 





00
11
, která do M
nepatří, protože 0011  . (Skupina B uváží např. matice 





00
01
a 





01
00
.)
3) Třetí podmínka platí, tak to dokažme. Nechť je matice M
dc
ba






, tj. platí ab=cd. Nechť
dále je Rk libovolné. Pak matice M
kdkc
kbka
dc
ba
k 











, protože je
kdkccdkabkkbka  22
. (Skupina B: Nechť je matice M
dc
ba






, tj. platí
cb=bd. Nechť dále je Rk libovolné. Pak matice M
kdkc
kbka
dc
ba
k 











, protože je
kdkbbdkackkcka  22
.)
Příklad č. 4:
Dosadím vektory do determinantu a spočítám jej. Pokud bude determinant roven 0, pak jsou vektory
lineárně závislé. Pokud bude různý od 0, budou lineárně nezávislé a budou tvořit bázi.
0363
32
31
1
032
031
111
210
031
111
1
2010
0031
1011
2101
2212
0031
1011
2101







V prvním kroku jsme udělali řádkové úpravy podle prvního řádku, abychom pod ním vynulovali třetí
sloupec (kde bylo hodně nul). V druhém kroku jsme podle toho sloupce, který jsme nulovali, udělali
La Placeův rozvoj. Poté jsme tento dvoukrokový postup zopakovali a nakonec Saarusovým pravidlem
spočítali determinant 2x2. (Skupina B má pouze matici transponovanou, tedy výsledek je úplně
stejný.)