3. samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 50 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište
a napište svou skupinu. Pracujte pozorně a rychle. Pokud něčemu v zadání neporozumíte, zeptejte se. Přeji
Vám hodně štěstí!!!
Skupina A
Příklad č. 1 (12 bodů):
Uvažme lineární zobrazení 43
: f . Víme, že
.
1
0
1
0
0
1
0
,
0
1
0
1
1
1
0
,
0
1
1
1
1
0
1









































































































fff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi











































1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
3213 eee . Užijte toho, že
víte, že f je lineární, tj. že f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z  a volit
vektory x, y z








































0
1
0
,
1
1
0
,
1
0
1
.
b) Pak f(ei) pro i=1,2,3 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 34f .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Mějme bázi







































































1
1
1
1
,
0
1
1
1
,
0
0
1
1
,
0
0
0
1
 . Najděte matici zobrazení 3f . Buď můžete využít násobení matic, pak
3443
)(  fidf  , nebo z definice i-tý sloupec je   ief a i=1,2,3.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (Nejlépe pomocí báze jako podprostor 3
 a 4
 ).
Příklad č. 2 (6 bodů):
Ve vektorovém prostoru )(P2 x polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty najděte souřadnice polynomu
(vektoru) 1-3x+x2
v bázi  22
,2,1 xxxx  .
Příklad č. 3 (6 bodů):
Rozhodněte, zda












 cdab
dc
ba
M je vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu 2×2
s reálnými koeficienty












 dcba
dc
ba
,,,),2,2(Mat , ve kterém sčítání vektorů je sčítání matic
a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení dokažte. Tedy ověřte všechny tři podmínky
a pokud některá z nich neplatí, uveďte konkrétní protipříklad.
Příklad č. 4 (5 bodů):
Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi 4
 :
























































2
0
1
2
,
2
0
0
1
,
1
3
1
0
,
2
1
1
1
.
3. samostatná písemná práce z MB101. Na řešení máte 50 minut. Na každý papír se prosím čitelně podepište
a napište svou skupinu. Pracujte pozorně a rychle. Pokud něčemu v zadání neporozumíte, zeptejte se. Přeji
Vám hodně štěstí!!!
Skupina B
Příklad č. 1 (12 bodů):
Uvažme lineární zobrazení 43
: f . Víme, že
.
1
1
1
1
1
0
0
,
0
1
0
1
1
1
0
,
2
0
3
0
0
1
1













































































fff
a) Nejprve spočítejte obrazy f(ei), kde ei tvoří kanonickou bázi











































1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
3213 eee . Užijte toho, že
víte, že f je lineární, tj. že f(ax+by)=af(x)+bf(y). Znamená to, že musíte vhodně volit koeficienty a, b z  a volit
vektory x, y z








































1
0
0
,
1
1
0
,
0
1
1
.
b) Pak f(ei) pro i=1,2,3 postupně tvoří sloupce matice zobrazení 34f .
c) Najděte předpis tohoto zobrazení.
d) Mějme bázi







































































1
1
1
1
,
0
1
1
1
,
0
0
1
1
,
0
0
0
1
 . Najděte matici zobrazení 3f . Buď můžete využít násobení matic, pak
3443
)(  fidf  , nebo z definice i-tý sloupec je   ief a i=1,2,3.
e) Najděte jádro Ker f a obraz Im f . (Nejlépe pomocí báze jako podprostor 3
 a 4
 ).
Příklad č. 2 (6 bodů):
Ve vektorovém prostoru )(P2 x polynomů stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty najděte souřadnice polynomu
(vektoru) 1+3x+x2
v bázi  22
,2,1 xxxx  .
Příklad č. 3 (6 bodů):
Rozhodněte, zda












 bdac
dc
ba
M je vektorový podprostor prostoru všech čtvercových matic typu 2×2
s reálnými koeficienty












 dcba
dc
ba
,,,),2,2(Mat , ve kterém sčítání vektorů je sčítání matic
a násobení skalárem je násobení matice reálným číslem. Své tvrzení dokažte. Tedy ověřte všechny tři podmínky
a pokud některá z nich neplatí, uveďte konkrétní protipříklad.
Příklad č. 4 (5 bodů):
Výpočtem determinantu rozhodněte, zda následující vektory tvoří bázi 4
 :
























































2
2
1
2
,
0
0
3
1
,
1
0
1
1
,
2
1
0
1
.