Zbytek příkladů 29.11.-15.12.2011
1. Ve vektorovém prostoru Rk jsou dány množiny vektorů
(a) A = {(1, 1, 2, 0, 0)T , (1, −1, 0, 1, a)T , (1, b, 2, 3, −2)T }
(b) B = {(−
√
2/2,
√
2/2, −
√
2/2,
√
2/2)T , (1, 0, 0, 1)T , (0, −3/5, −3/5, 0)T }
(c) C = {(1, 0, 1/2, 3)T , (0, 3, 1, −1/3)T , (−10, −1/3, 2, 3)T }
Jsou tyto množiny ortogonální? Jsou ortonormální? Pro vektory s parametry
určete příslušné hodnoty parametrů, aby navzájem ortogonální byly.
2. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální
bázi podprostoru generovaného vektory
a) (1, 1, −1, −1)T , (1, −1, 1, 1)T , (−1, −2, 0, 1)T v E4
b) (1, 2, 2, −1)T , (1, 1, −5, 3)T , (3, 2, 8, −7)T v E4
c) (1, 0, 1, 0)T , (0, 1, 0, −7)T , (3, −2, 3, 14)T v E4
d) (1, 2, 0, 1, 2)T , (1, 1, 3, 0, 1)T , (1, 3, −3, 2, 3)T , (1, −1, 9, −2, −1)T v E5
Následně najděte i ortonormální báze.
3. Najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 2, 1) do podprostoru
W = span (0, 2, 0, 1)T , (0, 1, 1, 0)T . Jaká je vzdálenost a jaká je odchylka
vektoru u od podprostoru W?
4. Najděte ortogonální doplněk podprostoru P generovaného vektory
(−1, 2, 0, 1)T , (3, 1, −2, 4)T , (−4, 1, 2, −4)T v E4.
5. Nalezněte kořeny polynomů (pomocí Hornerova schématu)
a) x3 − 6x2 + 11x − 6
b) x3 − x2 − 8x + 12
c) x6 − x5 − 2x4
d) 6x4 + 9x3 − 9x2 − 21x − 9
6. Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory následujících matic. Jestliže
k tomu budou splněny předpoklady, proveďte i diagonalizaci matic.
A =


−1 3 −1
−3 5 −1
−3 3 1

 B =


4 2 −5
6 4 −9
5 3 −7

 C =


4 0 −1
2 2 −1
0 1 2

 D =




2 0 2 0
1 2 2 −2
0 0 2 0
0 0 1 2




E =


1 1 0
1 1 0
0 0 0

 F =
6 −2
−2 3
1