Relace a zobrazení, SLR 18. a 20.10.2011
1. Určete zda jsou následující relace reflexivní, symetrické, tranzitivní, asymetrické,
ekvivalence či uspořádání.
• a ∼ b ⇔ a3 − a = b3 − b, a, b ∈ A = {−2, −1, 0, 1, 2} [R, S, T]
• a ∼ b ⇔ (a = b ∨ a = b + 1), a, b ∈ Z [R, Ats]
• a ∼ b ⇔ a · b = 2k − 1, a, b, k ∈ N [S, T]
• x ∼ y ⇔ |x| ≥ |y|, ∀x, y ∈ Z [R, T]
2. Určete zda jsou následující zobrazení injektivní, surjektivní, bijektivní.
• f : R → R, f(x) = x3 − 1
• f : R → [−1, 1], f(x) = sin(x)
• f : N → N, f(x) =
x − 1 x = 2k
x + 1 x = 2k + 1, k ∈ N
3. Jsou dána zobrazení f, g: R → R, f(x) = 4x−1
6 , g(x) = 2x + 1. Určete
následující zobrazení:
• (f ◦ g)−1(x) [6x−3
8 ]
• (f−1 ◦ g−1)(x) [3x−2
4 ]
4. Vyřešte následující soustavy lineárních rovnic v R.
a)
2x1 − 3x2+x3 = 0
1x1 + 2x2+x3 = 3
2x1 + x2 +x3 = 12
b)
x1 − 2x2 +x3 = −1
x1 +x3 = 1
2x1 − 5x2+4x3 = 0
2x1 − 3x2 = −4
1