Vektorové prostory, vektory    8. a 10.11.2011
1. Zjistěte, zda jsou následující množiny vektorové prostory nad M. Pokud ne, určete, které axiomy vektorového prostoru nejsou splněny.
a) V = (x, y, z) s operacemi (x, y, z) + (x\ y', z') = {x + x', y + y', z + z'), k(x,y,z) = (kx,y,z)      [ne, není splněn axiom (a+b)*u=au+bu]
b) V = (x,y) s operacemi (x,y) + (x',yr) = (x + x',y + y'), k(x,y) = (2kx,2ky) [ne, není splněn axiom a(b*u) = (ab)u a l*u=u]
c) Množina všech matic typu 2 x 2 s reálnými koeficienty se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. [ano]
d) Množina všech matic typu 2x2 tvaru ^ ^ se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. [ne, není splněn axiom o neutrálním a inverzním prvku]
2. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v R2 a Matn(K).
a) M = {(x,y) G R2; x = y + 1} [ne, neplatí (2),(3)]
b) M = {í"   yj G Mat2(K); a + b + c + d = 0} [ano]
3. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující vektory v Rn (pomocí determinantu). Určete jejich lineární obal.
a) m = (-l,-l,l,l),n2 = (l,-l,l,-l),n3 = (-l,l,l,-l),n4 = (l,l,l,l) [LNZ]
b) Ul = (3,8,7,-3),u2 = (1, 5,3,-1), u3 = (2,-1, 2, 6), u4 = (1,4,0,3) [LNZ]
4. Zjistěte, zda vektor x = (7,2,-2) patří do lineárního obalu množiny vektorů
{(1, 0, -1), (2,1, 0), (0,1, 2), (1,1,1), (5, 2, -1)}
[nel
1