BÁZE, DIMENZE, LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 15.11.2011
1. Najděte bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M :
a) M = {(1, 2, 3), (1,1, 0), (0,1,1), (1,1,1), (1, 0, 0)}
b) M = {2x - 1, x3 + x + 1, x2 + x, 2x2 + 1, x3 + 3x2 + 2x + 2}
2. Uvažujme vektorový prostor Mat2(M) reálných matic typu 2 x 2 a jeho podmnožimu P všech matic A = [aij) takových, že au + 022 = 0.
a) Dokažte, že P je vektorový podprostor.
b) Napište nějakou bázi podprostoru P.
3. Najděte souřadnice vektoru v v bázi a vektorového prostoru V.
a) v = (2,1,1),   a = ((2, 7, 3), (3, 9, 4), (1, 5, 3)),   V = R3
b) v = 4 - Ax - 2x3,    a = (1 - x2,1 + x, 1 - x),    V = R2[x]
c) v = x3+x2+x + l,    a = (1 + x3, x + x3, x2 + x3, x3),    V = Rs[x]
4. Zjistěte, zda je zobrazení /: Rm —> Ra lineární. Pokud ano, najděte Ker/, Imf a zapište jej pomocí násobení maticí. Zjistěte, zda je / isomorfismus.
a) f(x,y) = {2x + 3y,x - y)
b) f(x, y, z) = (x - 2y + z, 2x - y + z, 3y - z)
5. Určete předpis lineárního zobrazení /: R3 —> R4, pro které platí
/(l, 0,1) = (1, 0,1, 0); /(l, 1, 0) = (0, 0, 0, 0); /(0,1,1) = (0,1, 0,1). 6. Matice lineárního zobrazení/: R3 —^ M3 v bázi a = ((1, 0,1), (0,1,1), (1,1, 0))
Najděte předpis zobrazení /. Zjistěte, zda je / isomorfismus.
1
Výsledky:
1. a)(l; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 2; 3), dim M = 3, b)2x-l; x3+x + l; x2+x; dim M 3
' '0   l\   Í0   1\   íl 1
2. (b) báze p je např. [p] - ^ ( x   Q , , y2   q/'Vi -1
3. a)(-5,4,0)T, 6)(2,-l,3)T, c)a)(l, 1,1, -2)T.
4. a) ano, Ker/ = {0}; /m/ = [(2,1); (3, -1)]; A=(^ ^
íl   -2 1
b) ano, tferf = [(1.-1,-3)]; Imf = [(1,2,0); (-2,-1, 3)];A =    2   -1 1
\0        3 -1;
5. f (x) = \(xi - x2 + x3, -xi + x2 + x3, xi - x2 + x3;       + x2 + x3).
6. /(x) = (—2xi + ^2, ^2 — ^3, — %3)', f Je isomorfismus.
2