Domácí úkol č. 11
1. Ve vektorovém prostoru R2
je pro libovolné dva vektory definováno reálné číslo u, v .
Rozhodněte, zda je takto v R2
definován skalární součin.
(a) u, v = 0
(b) u, v = 4u1v1 − 2u1v2 − 2u2v1 + 5u2v2
2. Rozhodněte, zda dané vektory euklidovského prostoru R4
jsou ortogonální:
(a) (1, −2, 2, 1)T
, (1, 3, 2, 1)T
, (−1, 0, 1, −1)T
(b) (2, 3, −3, −4)T
, (−1, 3, −3, 4)T
, (3, 1, 3, 0)T
3. Určete parametry a, b ∈ R tak, aby dané vektory veulidovského prostoru R5
byly
ortogonální:
(a) (1, 1, 2, 0, 0)T
, (1, −1, 0, 1, a)T
, (1, b, 2, 3, −2)T
(b) (2, −1, 0, a, b)T
, (a, b, 0, −2, 1)T
, (a, 2b, 5, b, −a)T
4. V euklidovském prostoru R5
je dán podprostor W. Nalezněte bázi ortogonálního
doplňku W⊥
:
(a) W = Span u1, u2, u3, u4 , kde u1 = (1, −1, 2, 1, −3)T
, u2 = (2, 1, −1, −1, 2)T
u3 = (1, −7, 12, 7, −19)T
, u4 = (1, 5, −8, −5, 13)T
(b) W = Span u1, u2, u3, u4 , kde u1 = (1, 1, −1, −1, 0)T
, u2 = (1, −1, −1, 0, −1)T
,
u3 = (1, 1, 0, 1, 1)T
, u4 = (−1, 0, −1, 1, 1)T
5. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru
W:
(a) V = R3
, u = (3, −7, 8)T
, W = Span w1, w2 , w1 = (1, 1, −2)T
, w2 = (3, 1, −1)T
(b) V = R4
, u = (−2, 2, 2, 5)T
, W = Span w1, w2, w3
w1 = (1, 1, −1, 2)T
, w2 = (3, 1, 0, 1)T
, w3 = (2, 0, 1, −1)T
(c) V = R4
, u = (1, 2, 3, 4)T
, W = Span (0, 1, 0, 1)T
1