Bonusové příklady a domácí úloha č. 13
Domácí úlohu poznáte tak, že jsou u ní uvedeny výsledky, u ostatních příkladů výsledky
uvedeny nejsou.
1. Do voleb se přihlásilo 10 kandidátů - 6 mužů a 4 ženy. Celkem bude zvoleno 5 kandidátů.
Volební řád však říká, že musí být zvoleny aspoň 2 ženy. Kolika způsoby mohou
volby dopadnout?
2. Čtěte pozorně (rozlišitelné/nerozlišitelné)! Uvažte, že lze umístit více koulí do jedné
přihrádky. Kolika způsoby lze rozdělit (a) 3 rozlišitelné koule do 2 rozlišitelných
přihrádek? (b) 3 nerozlišitelné koule do 2 rozlišitelných přihrádek? (c) 3 rozlišitelné
koule do 2 nerozlišitelných přihrádek? (d) 3 nerozlišitelné koule do 2 nerozlišitelných
přihrádek?
3. Z karetní hry o 32 kartách vybereme náhodně bez vracení 4 karty. Jaká je pravděpodobnost,
že aspoň jedna z nich je eso?
4. Střelec střílí na terč o průměru 60cm. Jaká je pravděpodobnost, že zasáhne střed o
průměru 6cm?
5. Určete obsah pětiúhelníku daného body: A = [−1, 4], B = [−2, 1], C = [−1, −5], D =
[3, 2], E = [8, 6]
6. Řada sedadel obsahuje 2n míst. Usazujeme na ně n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost,
že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?
7. Rozhodněte, zda je následující zobrazení injektivní, surjektivní, popř. bijektivní
f : R → R, f(x) =
4x − 5
12
8. Určete vlastnosti relace x, y ∈ R; [x, y] ∈ R ⇔ sin(x) = cos(y)
9. Určete hodnost matic:
A =




2 6 8 5
3 4 −5 2
4 2 −1 −2
−1 0 −6 −7



 ; B =


4 2 1
3 2 1
2 2 1

 ; C =




2 −4 8 0 4
3 −6 1 4 3
−4 2 5 −1 7
5 −4 −12 5 −14




10. Podle Frobeniovy věty rozhodněte, zda je soustava řešitelná:
5x1 − 9x2+5x3 = 1
2x1 + 3x2+3x3 = 2
x1 + 8x2 = 1
x1 − 2x2 +x3 = 0
1
11. Určete determinant následující matice:






2 1 −1 2 −1
−4 3 2 −1 1
3 5 −2 1 −2
2 2 −1 3 −1
−1 2 3 1 3






12. Vyřešte soustavu lineárních rovnic s parametrem
4x1−2x2+3x3+ 7x4= 1
5x1−3x2+3x3+ 4x4= 3
8x1−6x2− x3− 5x4= 9
7x1−3x2+7x3+17x4= a
13. Vypočtěte jádro, obraz a řádkový prostor matice a určete dimenze jednotlivých podprostorů




1 4 5
3 −2 1
−1 0 −1
2 3 5




14. Rozhodněte, zda množina V = {(x, y) ∈ R2
: xy ≥ 0} tvoří vektorový podprostor
prostoru (R, +, ·)
15. Určete matici přechodu od báze α k bázi β a určete souřadnice vektoru w v bázi β,
tj. [w]β
α = ((−3, 0, 3)T
, −3, 2, −1)T
, (1, 6, −1)T
); β = (−6, −6, 0)T
, (−2, −6, 4)T
, (−2, −3, 7)T
);
[w]α = (−5, 8, −5)
16. Metodou nejmenších čtverců řešte následující systém rovnic:
x1 + x2 = 1
x2 +x3 = 2
x3 + x4= 3
x1 +x3 + x4= 4
x1 + x2 = 5
[(1, 2, 0, 3)]
17. Najděte kolmou projekci vektoru u = (1, 2, 2, 1)T
do podprostoru
W = Span (0, 2, 0, 1)T
, (0, 1, 1, 0)T
. Jaká je vzdálenost a odchylka vektoru u od
podprostoru W?
2
18. Určete vlastní čísla a vlastní vektory dané matice, určete jejich algebraickou a geometrickou
násobnost a rozhodněte, zda je matice diagonalizovatelná; pokud ano,
najděte matici D a P. 



3 −1 0 0
1 1 0 0
3 0 5 −3
4 −1 3 −1




19. Rozhodněte, zda jsou vektory lineárně nezávislé a určete jejich lineární obal.
u1 = (3, 8, 7, −3)T
, u2 = (1, 5, 3, −1)T
, u3 = (2, −1, 2, 6)T
, u4 = (1, 4, 0, 3)T
20. Spočítejte vlastní čísla matice A. Pak spočítejte vlastní čísla matice A−1
a porovnejte
je s vlastními čísly matice A.
1 −3
2 −1
21. Mějme dánu populaci ve městě a na jeho předměstí. Předpokládá se, že se každý rok
40% obyvetl města přestěhuje na předměstí a naopak 30% obyvatel se z předměstí
přestěhuje do města. Jak se ustálí počet obyvatel ve městě a na předměstí?
[43% město a 57% předměstí]
22. V ČR je cca 700 tisíc fotbalistů, což zahrnuje profesionální i amatérské fotbalisty.
Analyzujte změny v počtech amatérských a profesionálních hráčů (a jejich dlouhodobý
efekt), jestliže každý rok získá 15% amatérských fotbalistů status profesionála
a 10% profesionálních hráčů se stane zpět amatéry.
[3
5
profesionálů a 2
5
amatérů]
3