1. Otočte bod [3,1] o úhel π
2
v záporném smyslu kolem počátku.
cos π
2
sin π
2
− sin π
2
cos π
2
3
1
=
0 1
−1 0
3
1
=
1
−3
2. Je dán trojúhelník ABC: A=[1,1], B=[3,2], C=[2,3].
(a) Určete, které strany trojúhelníku ABC jsou viditelné z bodu P=[4,4].
# »
PA,
# »
PB . . .
3 1
3 2
= 3 > 0 . . . nevidíme
# »
PB,
# »
PC . . .
3 2
2 1
= −1 < 0 . . . vidíme
# »
PC,
# »
PA . . .
2 3
1 3
= 3 > 0 . . . nevidíme
(b) Otočte trojúhelník o 60 stupňů v kladném smyslu kolem počátku.
cos π
3
− sin π
3
sin π
3
cos π
3
·
1
1
=
1−
√
3
2
1+
√
3
2
cos π
3
− sin π
3
sin π
3
cos π
3
·
3
2
=
3−2
√
3
2
2+3
√
3
2
cos π
3
− sin π
3
sin π
3
cos π
3
·
2
3
=
2−3
√
3
2
3+2
√
3
2
A = [1−
√
3
2
, 1+
√
3
2
], B = [3−2
√
3
2
, 2+3
√
3
2
], C = [2−3
√
3
2
, 3+2
√
3
2
]
(c) Zrcadlete trojúhelník ABC podle přímky p : x − y = 1
nejdříve musíme bod, kolem kterého rotujeme, posunout do počátku, potom
otočit a potom vrátit zpět o stejný vektor
P = O + w = [0 + 1, 0 + 0]
R−ϕ · (#»a − #»w)
cos π
4
(1 − 1) + sin π
4
(1 − 0)
− sin π
4
(1 − 1) + cos π
4
(1 − 0)
=
√
2
2√
2
2
zrcadlení:
√
2
2
−
√
2
2
otočení zpět a posunutí:
√
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2
·
√
2
2
−
√
2
2
+
1
0
=
1 + 1
0 + 0
=
2
0
A = [2, 0], B = [3, 2], C = [4, 1]
(d) Spočítejte obsah tohoto trojúhelníku.
1
2
·
2 1
1 2
= 3
2
3. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň
jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý.
0,51
1
4. Dva kamarádi se domluvili, že se setkají na určitém místě. Přitom každý z nich přijde
na místo nezávisle na druhém v náhodném okamžiku mezi 19. a 20. hodinou, počká
20 minut a jestliže se druhý během této doby nedostaví, odejde. Jaká je pravděpodobnost,
že se setkají.
5
9
5. Které strany čtyřúhelníku daného body [1, 4], [2, −1], [3, 3], [4, 1] vidí pozorovatel stojící
v bodě [7, 2]?
nevidí stranu [2, -1], [1,4]
6. Zrcadlete úsečku danou body A = [1, 3], B = [−1, 3] podle přímky y = −x
A = [−3, −1], B = [−3, 1]
2