1. Rozhodněte, zda je následující zobrazení injektivní, resp. surjektivní:
(a) f : N → N, f(x) =
x − 1 x = 2k
x + 1 x = 2k − 1
pro k = 1, 2, ...
(b) f : Q − {0} → Q+
, f(x) = x2
2. Rozhodněte, zda je následující relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní
a zda se jedná o relaci uspořádání, resp. ekvivalence.
(a) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
(b) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ sin x = sin y
(c) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ x ≥ y
(d) x, y ∈ N
x ∼ y ⇔ x · y je liché číslo
(e) x, y ∈ N
x ∼ y ⇔ x − y je sudé číslo
3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic v R:
(a)
x1 + 2x2+3x3 = 2
2x1 − x2 +5x3 = −5
3x1 + x2 −4x3 = 9
(b)
3x1 − 2x2 +x3 + x4 = 4
x1 + x2 −3x3 − x4 = 7
11x1 − 4x2−3x3 − x4= 10
(c)
x1 + 2x2 −x3 +x5 = 2
2x1 + 4x2 +x3 − 2x4+3x5 = 1
x1 + 2x2−3x3 + 5x4 +x5 = 4
3x1 + 6x2−6x3 + 2x4+2x5 = 9
1
4. Vypočítejte inverzní matice k následujícím maticím:
(a) A =


1 2 3
0 1 2
0 0 1


(b) B =


1 −1 3
1 −5 −3
−1 6 4


5. Podle Frobeniovy věty rozhodněte o řešitelnosti soustav lineárních rovnic:
(a)
x1 + 3x2−2x3 +2x5 = 0
2x1 + 6x2−5x3 − 2x4 +4x5 − 3x6 = −1
x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 +4x5 + 18x6 = 6
(b)
7x1 + 3x2 +2x3 = 1
−x1 + 6x2 −3x3 = 2
−10x1 + 15x2−11x3 = 4
6. Vypočítejte A2
, je-li:
(a) A =
1 −1
2 1
(b) A =


1 0 4
2 1 3
3 1 −1


7. Určete hodnost matice A:
A =


1 0 1
3 2 4
2 2 3


2