Domácí úkol č. 5
1. Rozhodněte, zda je následující zobrazení injektivní, resp. surjektivní:
(a) f : N → N, f(x) =
x − 1 x = 2k
x + 1 x = 2k − 1
pro k = 1, 2, ...
INJ: Nechť x, y ∈ N ∧ f(x) = f(y) ⇒
i. x − 1 = y − 1 ⇒ x = y
ii. x + 1 = y + 1 ⇒ x = y
SUR: Nechť y ∈ N lib. ⇒ vzorem k y = 2k − 1 pro k = 1, 2 je x = y + 1 a k
y = 2k je x = y − 1
⇒ zobrazení je bijektivní
(b) f : Q − {0} → Q+
, f(x) = x2
INJ: není, protože např. pro x = 2, y = −2 je f(x) = f(y) = 4
SUR: není, protože např. y = 2 nemá vzor
2. Rozhodněte, zda je následující relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní
a zda se jedná o relaci uspořádání, resp. ekvivalence.
(a) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
R: x − x = 0 ∈ Q ⇒ x ∼ x
S: x ∼ y ⇒ x − y ∈ Q ⇒ y − x ∈ Q ⇒ y ∼ x
A-S: není, protože např. x = 3, y = 2 ⇒ x − y = 1 ∈ Q, y − x = −1 ∈ Q ∧ x = y
T: x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x − y ∈ Q ∧ y − z ∈ Q ⇒ x − z ∈ Q ⇒ x ∼ z
jedná se o ekvivalenci
(b) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ sin x = sin y
R: x ∼ x ⇒ sin x = sin x platí
S: x ∼ y ⇒ sin x = sin y ⇒ sin y = sin x ⇒ y ∼ x
A-S: není, protože např. pro x = 0, y = π je sin x = sin y = 0
T: x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ sin x = sin y ∧ sin y = sin z ⇒ sin x = sin z ⇒ x ∼ z
jedná se o ekvivalenci
(c) x, y ∈ R
x ∼ y ⇔ x ≥ y
R: ano
S: není, např. pro x = 3, y = 1
A-S: ano
T: ano
jedná se o uspořádání
(d) x, y ∈ N
x ∼ y ⇔ x · y je liché číslo
1
R: není, např. pro x = 2 ⇒ x · x = 4 - není liché
S: ano
A-S: není, např. pro x = 3, y = 5 ⇒ x · y = 15 - je liché a x = y
T: ano
(e) x, y ∈ N
x ∼ y ⇔ x − y je sudé číslo
R: ano
S: ano
A-S: není, např. pro x = 3, y = 5 ⇒ x − y je sudé, y − x je sudé, ale x = y
T: ano
jedná se o ekvivalenci
3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic v R:
(a)
x1 + 2x2+3x3 = 2
2x1 − x2 +5x3 = −5
3x1 + x2 −4x3 = 9


1 2 3 2
2 −1 5 −5
3 1 −4 9

 ∼


1 2 3 2
0 −5 −1 −9
0 −5 −13 3

 ∼


1 2 3 2
0 5 1 9
0 0 −12 12

 ⇒ [1, 2, −1]
(b)
3x1 − 2x2 +x3 + x4 = 4
x1 + x2 −3x3 − x4 = 7
11x1 − 4x2−3x3 − x4= 10
řešení neexistuje
(c)
x1 + 2x2 −x3 +x5 = 2
2x1 + 4x2 +x3 − 2x4+3x5 = 1
x1 + 2x2−3x3 + 5x4 +x5 = 4
3x1 + 6x2−6x3 + 2x4+2x5 = 9
x1 = 1 − 2t + 16s, x2 = t, x3 = −1 + 5s, x4 = 2s, x5 = 11s
4. Vypočítejte inverzní matice k následujícím maticím:
(a) A =


1 2 3
0 1 2
0 0 1


2
A−1
=


1 −2 1
0 1 −2
0 0 1


(b) B =


1 −1 3
1 −5 −3
−1 6 4


B−1
=


2 2 3
1 −1 0
−1 2 1


5. Podle Frobeniovy věty rozhodněte o řešitelnosti soustav lineárních rovnic:
(a)
x1 + 3x2−2x3 +2x5 = 0
2x1 + 6x2−5x3 − 2x4 +4x5 − 3x6 = −1
x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 +4x5 + 18x6 = 6
rovnice má alespoň jedno řešení
(b)
7x1 + 3x2 +2x3 = 1
−x1 + 6x2 −3x3 = 2
−10x1 + 15x2−11x3 = 4
rovnice nemá řešení
6. Vypočítejte A2
, je-li:
(a) A =
1 −1
2 1
A2
=
−1 −2
4 −1
(b) A =


1 0 4
2 1 3
3 1 −1


A2
=


1 0 4
2 1 3
3 1 −1

 ·


1 0 4
2 1 3
3 1 −1

 =


13 4 0
13 4 8
2 0 16


3
7. Určete hodnost matice A:
A =


1 0 1
3 2 4
2 2 3

 ∼


1 0 1
0 2 1
0 2 1

 ∼


1 0 1
0 2 1
0 0 0

 ⇒ h(A) = 2
4