Domácí úkol č. 6
1. Vypočítejte determinant následujících matic:
(a) A =
2 6
−4 −8
A =
2 6
−4 −8
= −16 + 24 = 8
(b) B =


2 3 5
1 −3 −2
−2 1 4


B =
2 3 5
1 −3 −2
−2 1 4
= −24 + 5 + 12 − 30 + 4 − 12 = −45
(c) C =




1 2 3 4
2 6 4 7
−2 −4 3 1
5 1 −2 3




C =
1 2 3 4
2 6 4 7
−2 −4 3 1
5 1 −2 3
=
1 2 3 4
0 2 −2 −1
0 0 9 9
0 −9 −17 −17
= = 1
2
1 2 3 4
0 2 −2 −1
0 0 9 9
0 −18 −34 −34
= 1
2
·1·(−1)1+1
·
2 −2 −1
0 9 9
−18 −34 −34
= 1
2
(2·9·(−34)+2·9·18−9·18+2·9·34) = 81
(d) D =




−3 9 3 6
−5 8 2 7
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5




D =
−3 9 3 6
−5 8 2 7
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5
= (−3)10 + 5 · 12 + 4 · 18 − 7 · 12 = 18
(e) E =






1 0 0 0 5
2 1 −1 3 4
1 0 0 0 7
3 1 −1 4 1
5 −2 3 6 1






1
E =
1 0 0 0 5
2 1 −1 3 4
1 0 0 0 7
3 1 −1 4 1
5 −2 3 6 1
=
1 −1 3 4
0 0 0 7
1 −1 4 1
−2 3 6 1
+5·
2 1 −1 3
1 0 0 0
3 1 −1 4
5 −2 3 6
= 7·
1 −1 3
1 −1 4
−2 3 6
+
5·(−1)·
1 −1 3
1 −1 4
−2 3 6
= 7·(−6+8+9−6−12+6)−5·(−6+8+9−6+6−12) =
(−1) · 7 − 5 · (−1) = −7 + 5 = −2
2. Pomocí Cramerova pravidla vypočítejte neznámou x2 z následující soustavy lineárních
rovnic:
3x1−x2 +x3= 10
5x1+x2+2x3= 29
−4x1+x2+2x3 = 2
|A| =
3 −1 1
5 1 2
−4 1 2
= 6 + 5 + 8 + 4 + 10 − 6 = 27
|A2| =
3 10 1
5 29 2
−4 2 2
= 174 + 10 − 80 + 116 − 100 − 12 = 108
x2 = |A2|
|A|
= 108
27
= 4
3. Najděte adjungované matice k maticím:
(a) A =


3 −2 −4
1 3 2
−2 −4 6


A∗
=


18 + 8 −(−12 − 16) −4 + 12
−(6 + 4) 18 − 8 −(6 + 4)
−4 + 6 −(−12 − 4) 9 + 2

 =


26 28 8
−10 10 −10
2 16 11


(b) B =




3 −2 0 −1
0 2 2 1
1 −2 −3 −2
0 1 2 1




2
B∗
=




















2 2 1
−2 −3 −2
1 2 1
−
−2 0 −1
−2 −3 −2
1 2 1
−2 0 −1
2 2 1
1 2 1
−
−2 0 −1
2 2 1
−2 −3 −2
−
0 2 1
1 −3 −2
0 2 1
3 0 −1
1 −3 −2
0 2 1
−
3 0 −1
0 2 1
0 2 1
3 0 −1
0 2 1
1 −3 −2
0 2 1
1 −2 −2
1 1 1
−
3 −2 −1
1 −2 −2
0 1 1
3 −2 −1
0 2 1
0 1 1
−
3 −2 −1
0 2 1
1 −2 −2
−
0 2 2
1 −2 −3
0 1 2
3 −2 0
1 −2 −3
0 1 2
−
3 −2 0
0 2 2
0 1 2
3 −2 0
0 2 2
1 −2 −3




















=
=




1 1 −2 −4
0 1 0 −1
−3 −1 3 6
2 1 −9 −10




4. Vyřešte soustavu lineárních rovnic v závislosti na parametru r ∈ R
4x1+3x2−2x3= 12
2x1 −x2 = 6
x1 +x2+rx3 = 3
x1+2x2 −x3 = 3




1 2 −1 | 3
2 −1 0 | 6
4 3 −2 | 12
1 1 r | 3



 ∼




1 2 −1 | 3
0 −5 2 | 0
0 −5 2 | 0
0 −1 r + 1 | 0



 ∼


1 2 −1 | 3
0 −5 2 | 0
0 0 −5r − 3 | 0

 ⇒
r = −3
5
⇒ [x1, x2, x3] = [3 + t
5
, 2
5
t, t]
r = −3
5
⇒ [x1, x2, x3] = [3, 0, 0]
5. Rozšířená matice soustavy lineárních rovnic (4 rovnice pro 4 neznámé) má po Gaussově
eliminaci následující tvar



1 2 3 4r(r − 1) | 1
0 1 2 3r(r − 1) | 1
0 0 1 2r(r − 1) | 1
0 0 0 r(r − 1) | r(r − 2)




Proveďte diskuzi řešení vzhledem k parametru r ∈ R.
(a) r = 0 ⇒




1 2 3 0 | 1
0 1 2 0 | 1
0 0 1 0 | 1
0 0 0 0 | 0



 ⇒ [x1, x2, x3, x4] = [0, −1, 1, t]
3
(b) r = 1 ⇒




1 2 3 0 | 1
0 1 2 0 | 1
0 0 1 0 | 1
0 0 0 0 | −1



 ⇒ nemá řešení
(c) r = 0, r = 1 ⇒ [x1, x2, x3, x4] = [24r − 8, r2
− 2r + 3, −2r2
− 4r + 1, r−2
r−1
]
4