Domácí úkol č. 7
1. Zjistěte, zda jsou dané vektory lineárně závislé nebo nezávislé.
(a) v1 =




1
0
0
1



, v2 =




1
1
1
1



, v3 =




2
1
2
3



, v4 =




1
0
1
0



, v5 =




2
3
1
2








1 1 2 1 2
0 1 1 0 3
0 1 2 1 1
1 1 3 0 2



 ∼ · · · ∼




1 1 2 1 2
0 1 1 0 3
0 0 1 1 −2
0 0 0 −2 2



 ⇒ LZ
(b) u1 =


1
2
−3

, u2 =


2
−1
3

, u3 =


−3
4
−9

, u4 =


6
0
1

, u5 =


4
1
−2




1 2 −3 6 4
2 −1 4 0 1
−3 3 −9 1 −2

 ∼ · · · ∼


1 2 −3 6 4
0 −5 10 −12 −7
0 0 0 −13 −13

 ⇒ LZ
2. Jsou uvedené prvky lineárně nezávislé? A =
1 2
1 2
, B =
1 1
0 1
, C =
2 3
1 3
v (Mat2x2(Z), +, ·)
a ·
1 2
1 2
+ b ·
1 1
0 1
+ c ·
2 3
1 3
=
0 0
0 0
a + b + 2c = 0
2a + b + 3c = 0
a + c = 0
2a + b + 3c = 0



1 1 2
2 1 3
1 0 1
2 1 3



 ∼




1 1 2
0 −1 −1
0 −1 −1
0 −1 −1



 ∼
1 1 2
0 −1 −1
⇒ c = t, b = −t, a = −t ⇒ matice
jsou LZ, protože jsme našli nenulová a, b, c
3. Ověřte, zda se jedná o vektorové prostory:
(a) V = C, (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i, α · (a + bi) = α · a + (α · b)i
(b) V = Mat2x3(R), sčítání matic, násobení matic reálným číslem
(c) V = {(x, y)}, (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), k · (x, y) = (2kx, 2ky)
všechno to jsou vektorové prostory
1