Domácí úkol č. 8
1. Určete jádro, obraz, řádkový prostor matice A =




1 4 5
3 −2 1
−1 0 −1
2 3 5




2. Určete jádro a obraz matice B =
1 2 3
2 0 0
3. Určete bázi vektorového podprostoru M =
1 1
1 1
,
1 −1
−1 1
,
2 0
0 2
,
1 2
2 1
,
0 1
1 1
v Mat2x2(R)
4. Tvoří vektory


1
1
1

 ,


1
2
0

 ,


1
3
1

 bázi R3
?
5. Určete souřadnice vektoru


2
3
−1

 = [w]e v bázi
α =


1
1
1

 ,


1
2
0

 ,


1
3
1


6. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly - sčítání vektorů
je sčítání komplexních čísel. Ukažte, že čísla 1 + i, 1 − i tvoří bázi tohoto prostoru a
napište součadnice čísla 5 − 2i v této bázi.
7. Doplňte množinu M tak, aby byla bází prostoru V:
(a) M =




−1
1
0
0



 ,




0
−1
1
0



 ,




0
0
−1
1



 , V = R4
(b) M =
1 1
1 1
,
1 2
1 0
,
1 1
2 3
, V =Mat2x2(R)
8. Zjistěte, zda jsou vektory lineárně nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé, napište jeden
jako lineární kombinaci ostatních. (Návod: napište si rovnici, podle které určujete LN
nebo LZ vektory a pokud jsou LZ, vyjádřete vektor z této rovnice)
u1 =




1
−1
0
2



 , u2 =




2
2
−1
3



 , u3 =




0
1
1
0



 , u4 =




3
2
0
5




1
9. Rozhodněte, zda se jedná o vektorový
(a) prostor: V = R3
, sčítání: (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
násobení: k · (x1, x2, x3) = (kx1, x2, x3)
(b) podprostor: M = {(x, y) ∈ R2
, y = x2
}
(c) podprostor: M = {(x1, x2, x3) ∈ R3
, 2x1 − x2 + 3x3 = 2}
(d) podprostor: M = {(x, y) ∈ R2
, x = y + 1}
(e) podprostor: M = {(a, 1, 1) ∈ R3
}
10. Ze zadaných vektorů vyberte bázi Span u1, u2, u3, u4, u5 a zbývající vektory vyjádřete
jako lineární kombinace vektorů vámi vybrané báze.
u1 = (1, 3, −2, −1, 2)T
u2 = (2, −1, 3, −2, −3)T
u3 = (3, 2, 1, −3, −1)T
u4 = (2, −38, 4, −1, −4)T
u5 = (3, 5, −4, −1, 4)T
2