Domácí úkol č. 8
1. Určete jádro, obraz, řádkový prostor matice A =




1 4 5
3 −2 1
−1 0 −1
2 3 5








1 4 5
0 −1 −1
0 0 0
0 0 0



 ⇒
Ker(A) = {(−t, −t, t), t ∈ R} =Span (−1, −1, 1)T
Im(A) = Span (1, 3, 01, 2)T
, (4, −2, 0, 3)T
R(A) = Span (1, 4, 5)T
, (0, −1, −1)T
2. Určete jádro a obraz matice B =
1 2 3
2 0 0
1 2 3
0 −2 −3
Ker(A) = {(0, −3
2
t, t)T
, t ∈ R} =Span (0, −3, 2)
Im(A) = Span (1, 2)T
, (2, 0)T
3. Určete bázi vektorového podprostoru M =
1 1
1 1
,
1 −1
−1 1
,
2 0
0 2
,
1 2
2 1
,
0 1
1 1
v Mat2x2(R)



1 1 2 1 0
1 −1 0 2 1
1 −1 0 2 1
1 1 2 1 1



 ∼




1 1 2 1 0
0 −2 −2 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1



 ⇒ α =
1 1
1 1
,
1 −1
−1 1
,
0 1
1 1
4. Tvoří vektory


1
1
1

 ,


1
2
0

 ,


1
3
1

 bázi R3
?


1 1 1
1 2 3
1 0 1

 ∼


1 1 1
0 1 2
0 −1 0

 ∼


1 1 1
0 1 2
0 0 2

 ⇒ vektory jsou LN, dimR3
= 3 ⇒ tvoří
bázi
5. Určete souřadnice vektoru


2
3
−1

 = [w]e v bázi
α =


1
1
1

 ,


1
2
0

 ,


1
3
1


1


2
3
−1

 = a


1
1
1

 + b


1
2
0

 + c


1
3
1




1 1 1 | 2
1 2 3 | 3
1 0 1 | −1

 ∼


1 1 1 | 2
0 1 2 | 1
0 −1 0 | −3

 ∼


1 1 1 | 2
0 1 2 | 1
0 0 2 | −2

 ⇒
c = −1, b = 3, a = 0, tedy [w]α =


0
3
−1


6. Uvažujme komplexní čísla jako vektorový prostor nad reálnými čísly - sčítání vektorů
je sčítání komplexních čísel. Ukažte, že čísla 1 + i, 1 − i tvoří bázi tohoto prostoru a
napište součadnice čísla 5 − 2i v této bázi.
1 1 | 5
1 −1 | −2
∼
1 1 | 5
0 −2 | −7
⇒ jsou LN a platí b = 7
2
, a = 5 − 7
2
= 3
2
[5 − 2i] =
3
2
7
2
= 3
2
+ 7
2
i
7. Doplňte množinu M tak, aby byla bází prostoru V:
(a) M =




−1
1
0
0



 ,




0
−1
1
0



 ,




0
0
−1
1



 , V = R4




−1 0 0 1 0 0 0
1 −1 0 0 1 0 0
0 1 −1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1



 ∼




−1 0 0 1 0 0 0
0 −1 0 1 1 0 0
0 0 −1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1



 ⇒
α = {(−1, 1, 0, 0)T
, (0, −1, 1, 0)T
, (0, 0, −1, 1)T
, (1, 0, 0, 0)T
}
(b) M =
1 1
1 1
,
1 2
1 0
,
1 1
2 3
, V =Mat2x2(R)




1 1 1 1 0 0 0
1 2 1 0 1 0 0
1 1 2 0 0 1 0
1 0 3 0 0 0 1



 ∼




1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 −1 1 0 0
0 0 1 −1 0 1 0
0 −1 2 −1 0 0 1



 ∼




1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 −1 1 0 0
0 0 1 −1 0 1 0
0 0 2 −2 1 0 1




∼




1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 −1 1 0 0
0 0 1 −1 0 1 0
0 0 0 0 1 −2 1



 ⇒ α =
1 1
1 1
,
1 2
1 0
,
1 1
2 3
,
0 1
0 0
8. Zjistěte, zda jsou vektory lineárně nezávislé. Pokud jsou lineárně závislé, napište jeden
jako lineární kombinaci ostatních. (Návod: napište si rovnici, podle které určujete LN
nebo LZ vektory a pokud jsou LZ, vyjádřete vektor z této rovnice)
2
u1 =




1
−1
0
2



 , u2 =




2
2
−1
3



 , u3 =




0
1
1
0



 , u4 =




3
2
0
5








1 2 0 3
−1 2 1 2
0 −1 1 0
2 3 0 5



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 −1 1 0
0 −1 0 −1



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 0 1 1
0 0 1 1



 ∼




1 2 0 3
0 4 1 5
0 0 1 1
0 0 0 0



 ⇒ LZ
vyjádření vektoru u4:




1 2 0 | 3
0 4 1 | 5
0 0 1 | 1
0 0 0 | 0



 ⇒ u4 = 1 · u1 + 1 · u2 + 1 · u3
9. Rozhodněte, zda se jedná o vektorový
(a) prostor: V = R3
, sčítání: (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
násobení: k · (x1, x2, x3) = (kx1, x2, x3)
je vektorový prostor
(b) podprostor: M = {(x, y) ∈ R2
, y = x2
}
není, protože (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), y = x2
, v = u2
, y + v = x2
+ u2
=
(x + u)2
(c) podprostor: M = {(x1, x2, x3) ∈ R3
, 2x1 − x2 + 3x3 = 2}
není, protože (x, y, z)+(u, v, w) = (x+u, y+v, z+w), 2(x+u)−(y+v)+3(z+w) =
2 ⇔ 2x − y + 3z + 2u − v + 3w = 2 ∧ 2x − y + 3z = 2 ∧ 2u − v + 3w = 2 ⇔ 4 = 2
(d) podprostor: M = {(x, y) ∈ R2
, x = y + 1}
není, protože (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), x = y + 1, u = v + 1, x + u =
y + v + 2 /∈ M
(e) podprostor: M = {(a, 1, 1) ∈ R3
}
není, součet neleží v množině M
10. Ze zadaných vektorů vyberte bázi Span u1, u2, u3, u4, u5 a zbývající vektory vyjádřete
jako lineární kombinace vektorů vámi vybrané báze.
u1 = (1, 3, −2, −1, 2)T
u2 = (2, −1, 3, −2, −3)T
u3 = (3, 2, 1, −3, −1)T
u4 = (2, −38, 4, −1, −4)T
u5 = (3, 5, −4, −1, 4)T






1 2 3 2 3
3 −1 2 −38 5
−2 3 1 4 −4
−1 −2 −3 −1 −1
2 −3 −1 −4 4






∼






1 2 3 2 3
0 −7 −7 −47 −4
0 7 7 8 2
0 0 0 1 2
0 −7 −7 −8 −2






∼






1 2 3 2 3
0 −7 −7 −47 −4
0 0 0 −39 −2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0






∼
3






1 2 3 2 3
0 −7 −7 −47 −4
0 0 0 −39 −2
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0






⇒ u3 = 1 · u1 + 1 · u2; bázi tvoří vektory u1, u2, u4, u5
4