1) Kolik různých slov (nemusí dávat smysl) lze vytvořit s písmen ve slově
ANAPURNA?
2) Kolika způsoby lze rozmístit 7 pomernčových (nerozl.) a 3 citronové bonbóny
(nerozl.) do 4 přihrádek (rozlišitelných)?
3) Kolika způsoby lze navléci náramek z 8 různých korálků?
4) Kolika způsoby můžeme ze 7 druhů ovoce vybrat 6 kusů do mísy? (každého druhu
máme k dispozici nejméně 6)
5) Jaká je pravděpodobnost, že z balíčku 32 karet náhodně vytáhnu 4 karty různé
hodnoty?
6) Náhodně vybereme přirozené číslo menší než 100 000. Jaká je pravděpodobnost, že
bude složeno pouze z cifer 0,1 a 2?
7) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne součet 5, víme-li, že ani
na jedné nepadla trojka?
Jsou jevy A-,,ani na jedné nepadla 3“ a B-,,padne součet 5“ nezávislé?
8) Dvě firmy dováží zboží do stejného obchodu. Dodávky přijedou náhodně mezi 15 a 18
hodinou a každá se zdrží 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že jedna bude muset
čekat na druhou?
9) Poloměr koule zvolíme náhodně v rozmezí 5-15 cm. Jaká je pravděpodobnost, že
projde otvorem v desce, který má tvat čtverce o straně 9 cm.
10)V krabici máme 20 krabiček na 60W žárovky (z nich žárovku obsahuje 6) a 30
krabiček na 40W žárovky (z nich žárovku obsahuje 8). Jaká je právděpodobnost, že
vyberemeli krabičku obsahující žárovku, bude mít výkon 60W?
11)Pro dané matice A, B, C spočtěte matice A·B·C a BT
:
A=
(3 2
1 0); B=
(1 0 3
2 1 2); C=
(
1 2
3 4
5 0)
12)Určete determinanty matic a napište:
a) jaká pravidla jste použili
b) jestli je daná matice regulárni / singulární
A=( 2 −3
−1 5 ); B=
(
1 2 3
3 2 −1
−1 0 1 ); C=
(
1 0 2 0
3 0 −1 0
4 1 5 1
−3 1 0 2
)
13)Určete inverzní matici, napište jaké pravidlo jste použili a jaký jiný postup jste mohli
zvolit (jen stručně):
X =
(
3 2 0
5 4 1
1 2 5);
14)Pokud jsou soustavy rovnic řešitelné, najděte řešení:
x−y+2 z=3
x+2 y−z=−5
−2 x−y−z=2
2a+3b−c+4d=5
−3a+b−3d=7
a−4b+c−d=10
15)Určete pouze neznánou x2:
3 x1+2 x2+x3=5
2 x1+3 x2+x3=1
2 x1+x2+3 x3=11
16) Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametru a:
−x−2 y=6
k x+k y=2
17)Jaký je nulový prvek ve vektorovém prostoru (V,+,·), kde:
V = (0,∞) , u + v =
u⋅v
3
a k · u = k · u?
Dále nalezněte opačný prvek k vektoru w = 9.
( ∀u∈V ,∃o∈V : u+o = o+u = u , ∀u∈V ,∃−u∈V : u+(−u) = o )
18)Rozhodněte, zda je daná množina M podprostorem v ℝ3
:
a)
b) M ={( x , y , z); y=x
2
, z=x}
19)Rozhodněte, zda jsou dané vektory lineárně závislé nebo nezávislé:
a) (0,0,0,0,0)T
b) (2,-3,9,15,4)T
c) (1,2,3)T
, (-5,6,4)T
, (-6,2,4)T
, (7,9,15)T
d) ( 2 3
−2 −3);(−1 2
5 4);(−1 −5
−3 −1)
20)Leží u = (0,-4,-1)T
v U = Span<(1,5,2)T
,(3,-1,2)T
, (2,-2,1)T
> ?
Jaká je báze a dimenze U?
21)Určete souřadnice vektoru [v]e=(1,2,6)
T
v bázi α=((1,1,1)T
,(1,2,0)T
,(1,3,1)T
)
22)Určete dimenzi jednotivých podprostorů a které množiny generují stejné podprostory.
M 1=((1,0,0,0)
T
,(0,1,0,0)
T
,(0,0,1,0)
T
,(0,0,0,1)
T
)
M 2=((1,2,0,1)
T
,(0,−1,2,3)
T
,(2,3,1,0)
T
,(1,1,2,4)
T
)
M 3=((2,2,3,3)
T
,(1,1,1 ,−1)
T
,(0,1,−2,−3)
T
,(−1,0 ,−3,−2)
T
)
M 4=((7,5 ,−2,−1)
T
,(−2,−1,7,5)
T
,(5,4,5,4)
T
,(−9,−6,9,6)
T
)
23)Vyberte zobrazení, které je lineárním zobrazením a určete jeho jádro a obraz.
L1 :ℝ
3
→ℝ
4
, L1((x1, x2, x3)
T
)=( x1+x2+1 , x2+x3+1, x1+x3+1, x1+1)
T
L2 :ℝ
3
→ℝ
4
, L2((x1, x2, x3)
T
)=(3x1+x2 ,3 x2+x3 , x1+x3 ,3x1)
T
L3=ℝ
3
→ℝ
4,
L3((x1, x2, x3)
T
)=(x1⋅x2 , x2⋅x3, x1⋅x3 , x1)
T
24)Určete matici lineárního zobrazení L:ℝ3
→ℝ2
, L((x1, x2, x3)T
)=( x1+3x3, 2x2)T
v
bázích
α = ((1,2,0)T
,(3,3,0)T
(-1,0,2)T
) a β = ((2,-1)T
,(-3,2)T
).
25)Jaké lineární zobrazení zadává matice A?Uveďte příklad vekrorových prostorů, mezi
kterými by dané zobrazení mohlo být definováno.
A=
(
2 3 0 0
0 0 2 3
3 3 3 3)
26)Pro jaké a jsou dané vektory kolmé?
u = (1, -2, 3)T
, v = (a, a, 4)T
27)Určete ortogonální doplněk k vektorovému podprostoru W ve vektorovém prostoru R3
:
28)Určete projekci p vektoru v do podprostoru W s bází α:
v = (2, 1, 0)T
, α = ( (1, 2, 1)T
, (-1, 1, -1)T
)
29)Pomocí Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu nalezněne nějakou ortonormální
bázi vektorového prostoru
W = Span .
30)Nalezněte řešení soustavy rovnic s nejmenší chybou:
31)Určete vlastní hodnoty matice A, jejich algebraickou násobnost, geometrickou
násobnost a příslušné vlastní vektory:
A =
32)Určete charakteristický polynom matice B:
B =
33)Určete C10
pro C =