1. Určete, zda jsou následující zobrazení injektivní, surjektivní, popř bijektivní:
a) f :ℝ →ℝ ,x →
4x−5
12
b) f :ℕ →ℕ , f (x)=
[x+1
2 ] ( [ ] ... nejbližší celé číslo)
2. Určete výsledky skládání zobrazení f , g :ℚ→ℚ: f (x)=
2
3
x−
1
6
, g( x)=2x+1 :
a) g ◦ f (x)
b) (g ◦ f )-1
(x)
b) g-1
◦ f -1
(x)
3. Určete vlastnosti relací:
a) A = přímky v rovině, [ p ,q]∈R⇔ p,q jsou rovnoběžné přímky
b) x , y ∈ ℝ; [ x , y]∈R⇔sin(x)=cos( y)
c) x , y ∈ ℝ; [ x , y]∈R⇔ x≥y
d) x , y ∈ ℝ; [ x , y]∈R⇔ x⋅y je liché číslo
4. Jsou dány matice:
A=
(
1 −1 5
1 −3 −3
−1 3 4 ); B=(2 2 3 4
4 −5 −3 4); C=( 1 −6 7 0
−2 5 −4 2); D=
(
2 6
3 4
4 2
−1 0
); E=(2 0
4 8)
Určete:a) 2C – 3B
b) C ∙ D
c) A2
d) BT
e) ET
f) A-1
g) E-1
h) D-1
i) E ∙ B ∙ D
j) D ∙ B
5. Určete hodnost matic:
A=
(
2 6 8 5
3 4 −5 2
4 2 −1 −2
−1 0 −6 −7
); B=
(
4 2 1
3 2 1
2 2 1); C=
(
2 −4 8 0 4
3 −6 1 4 3
−4 2 5 −1 7
5 −4 −12 5 −14
)6. Podle Frobeniovy věty rozhodněte, zda jsou soustavy řešitelné:
x2+x3=0
2 x1+x2−x3=1
x1+x2−x3+x4=2
x1+2 x2=−1
5 x1−9 x2+5 x3=1
2 x1+3 x2+3 x3=2
x1+8 x2=1
x1−2 x2+x3=0
6 a−9b+7c+10d=3
2a−3b−3c−4d=1
2a−3c+13c+18d =1
b+d=1
3a−2b−3c+4d=−2
a+b−c+d=2
a−c=1