1. Rozhodněte, zda podmnožina W ⊆ℝ3
je podprostorem vektorového prostoru ℝ
3
, je-li:
a) W ={ (x , y , z) ∣ x=√2 y+√3 z }
b) W ={ (x , y , z) ∣ x=0∨y=0∨z=0 }
c) W ={ (x , y , z) ∣ y=z }
d) W ={ (2 s+t , s ,t) ∣ t ,s∈ℝlibovolné }
2. Uřčete, zda jsou vektory lineárně závislé nebo nezávislé:
a) V =ℝ4
, u1 = (0,-1,2,3)T
, u2 = (2,1,-1,-2)T
, u3 = (1,0,1,1)T
b) V =P3 , p1 = 2x2
+ x - 4, , p2 = x2
- 3, p3 = (x + 1)2
c) V =P3 , p1 = x2
+ x + 1, , p2 = x ∙ ( x2
+ x + 1), p3 = (x + 1)2
3. Rozhodněte pomocí determinantu o lineární závislosti/nezávislosti vektorů:
a) V =ℝ4
, u1 = (1,1,-1,2)T
, u2 = (-4,1,1,-3)T
, u3 = (2,-3,1,-1)T
, u4 = (1,1,1,1)T
b) V =ℚ
3
, u1 = (1,2,-2)T
, u2 = (-2,-3,1)T
, u3 = (-1,2,2)T
4. Nalezněte všchna r∈ℝ , pro která w = (r,1,2) leží v podprostoru
W= Span<u1, u2, u3> vektorového prostoru ℝ
3
, je-li:
a) u1 = (1,2,-1)T
, u2 = (1,1,0)T
, u3 = (2,-1,3)T
b) u1 = (1,2,-1)T
, u2 = (2,-1,1)T
, u3 = (-1,1,2)T
5. Vypočtěte jádro, obraz a řádkový prostor matice. Určete dimenzi jednotlivých podprostorů:
a) A=
(
1 4 5
3 −2 1
−1 0 −1
2 3 5
)
b) B=
(
1 1 1 1
5 2 −1 8
5 3 1 7
−4 −1 2 −7
)
c) C=
(
2 −3 5
1 0 4
2 1 3)
6. Určete bázi a dimenzi <M>:
a) M = {u1 = (1,2,0,0)T
, u2 = (0,0,0,0)T
, u3 = (1,2,3,4)T
, u4 = (3,6,0,0)T
}
b) M = {u1 = (2,1,-3,1)T
, u2 = (4,2,-6,2)T
, u3 = (6,3,-9,3)T
, u4 = (1,1,1,1)T
}
c) M = {u1 = (1,1,1,1)T
, u2 = (1,-1,1,1)T
, u3 = (1,1,-1,1)T
, u4 = (1,1,1,-1)T
}
d) M = {u1 = (1,2,3,-4)T
, u2 = (2,3,-4,1)T
, u3 = (2,-5,8,-3)T
, u4 = (5,26,-9,-12)T
,
u5 = (3,-4,1,2)T
}
e) M = {2x-1, x3
+ x + 1, x2
+ x, 2x2
+ 1 , x3
+ 3x2
+ 2x +2}
7. Nalezněte matici přechodu od báze α k bázi β a určete souřadnice [w]β:
a) α = ((1,2)T
, (-2,3)T
) , β = ((3,1)T
, (2,1)T
), [w]α = (2,3)
b) α = ((-3,0,-3)T
, (-3,2,-1)T
, (1,6,-1)T
) , β = ((-6,-6,0)T
, (-2,-6,4)T
, (-2,-3,7)T
), [w]α = (-5,8,-5)
c) α = (1, x, x2
) , β = (1, x + 1, 1 - x2
), [w]α = (2x2
– x + 2)